\sigma - Algebra < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:45 Mi 17.01.2007 | | Autor: | gosch |
| Aufgabe | Seien [mm] \Omega, \Omega^{'} \not= \emptyset [/mm] zwei beliebige Mengen und [m]T : \Omega \to \Omega^{'} [/m] eine Abbildung von [mm] \Omega [/mm] in [mm] \Omega^{'}. [/mm] Ferner sei [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf [mm] \Omega [/mm] und [mm] \mathcal{A}^{'} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf [mm] \Omega^{'}.
[/mm]
Zeige: Die Mengensysteme
[m]T^{-1}( \mathcal{A}^{'}) := \{T^{-1}(A^{'}) : A^{'}\in \mathcal{A}^{'}\} [/m] bzw.
[m]\mathcal{B}^{'} := \{A^{'} : T^{-1}(A^{'}) \in \mathcal{A}\} [/m]
sind [mm] \sigma-Algebren [/mm] in [mm] \Omega [/mm] bzw. [mm] \Omega^{'} [/mm] |
Hallo,
für die Menge [mm] \mathcal{B}^{'} [/mm] habe ich den Beweis. Für die erste Menge bin ich allerdings nicht sicher, kann jemand nachschauen, ob es richtig ist?
1) [mm] \emptyset \in \mathcal{A}^{'}, [/mm] da [mm] \mathcal{A}^{'} \sigma-Algebra [/mm]
Also [mm] \emptyset \in[/mm] [m]T^{-1}( \mathcal{A}^{'})[/m]
2) Sei [m]T^{-1}( A^{'}) \in T^{-1}( \mathcal{A}^{'})[/m] dann [mm] A^{'}^{c} \in \mathcal{A}^{'}, [/mm] da [mm] \mathcal{A}^{'} \sigma-Algebra, [/mm] also folgt [m]T^{-1}( A^{'}^{c}) = (T^{-1}(A^{'}))^{c} \in T^{-1}( \mathcal{A}^{'})[/m]
3) Seien [m]T^{-1}( A_i^{'}) \in T^{-1}( \mathcal{A}^{'})[/m] dann [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i^{'} \in \mathcal{A}^{'} [/mm] da [mm] \mathcal{A}^{'} \sigma-Algebra, [/mm] also folgt [m]T^{-1}(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i^{'}) = \bigcup_{i=1}^{\infty} T^{-1}(A_i^{'}) \in T^{-1}(\mathcal{A}^{'})[/m]
Also ist [m]T^{-1}(\mathcal{A}^{'})[/m] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] in [mm] \Omega
[/mm]
LG,
gosch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 20.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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