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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Do 10.12.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega\neq \emptyset [/mm] und A eine Familie von Teilmengen von [mm] \Omega. [/mm] Sei M beliebig, aber fest gewählt mit [mm] M\subset \Omega.
[/mm]
Sei [mm] C_{M}=\{M\cap B:B\in A\}.
[/mm]
(i) Zeige: [mm] C_M [/mm] ist eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf M.
(ii) Nun sei [mm] M\in [/mm] A. Beweisen Sie dann die folgende Charakterisierung von [mm] C_M:
[/mm]
[mm] C_{M}=\{E\in A:E\subset M\}. [/mm] |
Hallo,
zum ersten Teil:
ich muss zeigen: [mm] M\in C_M. [/mm] Dies folgt, wenn [mm] B=\Omega [/mm] gewählt wird, denn dann ist [mm] M\cap \Omega=M [/mm] und [mm] \Omega [/mm] ist in A, weil das ja eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf [mm] \Omega [/mm] ist.
Weiterhin hab ich schon gezeigt: [mm] C_1, C_2,...\in C_M\Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty}C_{i}\in C_{M}, [/mm] nämlich folgendermaßen:
Sei [mm] C_i=M\cap B_i. [/mm] Dann gilt:
[mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}C_{i}=\bigcup_{i=1}^{\infty}(M\cap B_{i})=M\cap\bigcup_{i=1}^{\infty}B_{i}
[/mm]
Und da [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}B_{i}\in [/mm] A folgt [mm] \Rightarrow\bigcup_{i=1}^{\infty}C_{i}\in C_{M}.
[/mm]
Stimmt das bisher so oder muss man was anders machen?
Dann muss ich noch zeigen: [mm] C\in C_M\Rightarrow C^C\in [/mm] M, womit ich noch so meine Probleme habe. Sei [mm] C=M\cap [/mm] B. Dann gilt [mm] C^C=M^C\cup B^C. [/mm] Aber das ist ja nicht in der Form [mm] M\cap [/mm] X. Was ich aber weiß, dass [mm] B^C\in [/mm] A ist, wenn [mm] B\in [/mm] A ist. Aber wie muss man das hier richtig formulieren.
Zu (ii).
Was muss ich hier eigtl genau machen? Wieder zeigen, dass das neu definierte [mm] C_M [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist? Oder einfach nur, dass das [mm] C_M [/mm] aus (i) gleich dem [mm] C_M [/mm] aus (ii) ist?
Wenn ich wieder zeigen soll, dass es eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist, habe ich wieder Probleme zu zeigen, dass wenn [mm] C\in C_M [/mm] folgt, dass [mm] C^C\in C_M [/mm] (wie bei (i) auch).
Gruß Unk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:44 Fr 11.12.2009 | | Autor: | pelzig |
>[...]
> Stimmt das bisher so oder muss man was anders machen?
Sieht gut aus!
> Dann muss ich noch zeigen: [mm]C\in C_M\Rightarrow C^C\in[/mm] M,
> womit ich noch so meine Probleme habe. Sei [mm]C=M\cap[/mm] B. Dann
> gilt [mm]C^C=M^C\cup B^C.[/mm] Aber das ist ja nicht in der Form
> [mm]M\cap[/mm] X.
Ja, du hast einen kleinen Denkfehler. Was du eigentlich zeigen musst, ist dass für [mm] $C\in C_M$ [/mm] auch das Komplement bzgl. M wieder in [mm] $C_M$ [/mm] ist, d.h. du musst zeigen [mm] $C\in C_M\Rightarrow M\setminus C\in C_M$. [/mm] Und tatsächlich: ist [mm]C=M\cap B[/mm], so folgt [mm] (nachrechnen!)$$M\setminus C=M\cap(\Omega\setminus [/mm] B)$$ und [mm]\Omega\setminus B[/mm] ist in A, also hat [mm]M\setminus C[/mm] die Form [mm]M\cap B[/mm] für ein [mm]B\in A[/mm] und daher [mm] $M\setminus C\in C_M$.
[/mm]
> Zu (ii). Was muss ich hier eigtl genau machen? Wieder zeigen, dass
> das neu definierte [mm]C_M[/mm] eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist? Oder
> einfach nur, dass das [mm]C_M[/mm] aus (i) gleich dem [mm]C_M[/mm] aus (ii)
> ist?
Letzteres. Um es ganz präzise zu sagen: In (i) wird definiert was das Symbol [mm] $C_M$ [/mm] bedeuten soll, eigentlich hätte man schreiben sollen [mm] $C_M:=\{M\cap B\mid B\in A\}$. [/mm] Und in (ii) wird behauptet: "Wenn [mm]M\in A[/mm] ist, dann gilt [mm] $C_M=\{E\in A\mid E\subset M\}$ [/mm] - und das sollst du beweisen.
Gruß, Robert
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