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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Mi 30.11.2011 | | Autor: | jebote |
| Aufgabe 1 | Es seien X ein metrischer Raum und [mm] \mathcal{B} [/mm] die [mm] Borel-\sigma-Algebra [/mm] auf X. Zeigen sie, dass [mm] \{x\}\in \mathcal{B} [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] X.
Hinweis: Die Kugel [mm] B_{\bruch{1}{n}}(x) [/mm] ist eine offene Menge, für jedes n [mm] \in \IN. [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Für die Menge [mm] \IQ [/mm] der rationalen Zahlen gilt [mm] \IQ \in \mathcal{B} [/mm] und [mm] \lambda (\IQ)=0. [/mm] Hier ist [mm] \lambda [/mm] das Lebesgue-Maß. |
| Aufgabe 3 | Ist [mm] (X,\mathcal{F},\mu) [/mm] ein Maßraum, und ist [mm] \mathcal{G} \subset \mathcal{F} [/mm] eine [mm] Unter-\sigma-Algebra, [/mm] so ist die Einschränkung [mm] \mu|_{\mathcal{G}} [/mm] ein Maß auf [mm] (X,\mathcal{G}).
[/mm]
Folgt aus [mm] \sigma-Endlichkeit [/mm] von [mm] \mu [/mm] die [mm] \sigma-Endlichkeit [/mm] von [mm] \mu|_{\mathcal{G}}?
[/mm]
Hinweis: [mm] (\IR,\mathcal{B}) [/mm] mit dem Lebesgue-Maß [mm] \lambda, [/mm] und die [mm] Unter-\sigma-Algebra [/mm] der co-abzählbaren Mengen. |
zu 1.) Mit der Metrik kann man sich einen Abstand definieren. Wie kann ich die Kugel benutzen, die als Hinweis aufgelistet ist?
[mm] B_{\bruch{1}{n}}(x)= d(x,a)<\bruch{1}{n} [/mm] für a aus der Kugel.
zu 2.)Mit dem Lebesgue-Maß folgt ja: [mm] \lambda [/mm] ([a,b])=b-a für a,b [mm] \in \IQ.
[/mm]
Unendlich minus unendlich geht ja schlecht. :)
Wie schließe ich das auf ganz [mm] \IQ?
[/mm]
zu 3.)Habe keine Ahnung ob das stimmt und wie ich an die Aufgabe ran muss.
Ich danke euch für jeden Denkanstoß.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:20 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es seien X ein metrischer Raum und [mm]\mathcal{B}[/mm] die
> [mm]Borel-\sigma-Algebra[/mm] auf X. Zeigen sie, dass [mm]\{x\}\in \mathcal{B}[/mm]
> für jedes x [mm]\in[/mm] X.
> Hinweis: Die Kugel [mm]B_{\bruch{1}{n}}(x)[/mm] ist eine offene
> Menge, für jedes n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Für die Menge [mm]\IQ[/mm] der rationalen Zahlen gilt [mm]\IQ \in \mathcal{B}[/mm]
> und [mm]\lambda (\IQ)=0.[/mm] Hier ist [mm]\lambda[/mm] das Lebesgue-Maß.
>
> Ist [mm](X,\mathcal{F},\mu)[/mm] ein Maßraum, und ist [mm]\mathcal{G} \subset \mathcal{F}[/mm]
> eine [mm]Unter-\sigma-Algebra,[/mm] so ist die Einschränkung
> [mm]\mu|_{\mathcal{G}}[/mm] ein Maß auf [mm](X,\mathcal{G}).[/mm]
> Folgt aus [mm]\sigma-Endlichkeit[/mm] von [mm]\mu[/mm] die
> [mm]\sigma-Endlichkeit[/mm] von [mm]\mu|_{\mathcal{G}}?[/mm]
> Hinweis: [mm](\IR,\mathcal{B})[/mm] mit dem Lebesgue-Maß [mm]\lambda,[/mm]
> und die [mm]Unter-\sigma-Algebra[/mm] der co-abzählbaren Mengen.
>
> zu 1.) Mit der Metrik kann man sich einen Abstand
> definieren. Wie kann ich die Kugel benutzen, die als
> Hinweis aufgelistet ist?
> [mm]B_{\bruch{1}{n}}(x)= d(x,a)<\bruch{1}{n}[/mm] für a aus der
> Kugel.
Es ist doch [mm] B_{\bruch{1}{n}}(x) \in \mathcal{B} [/mm] und damit auch [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}B_{\bruch{1}{n}}(x) \in \mathcal{B} [/mm]
Berechne mal diesen Durschnitt !
>
> zu 2.)Mit dem Lebesgue-Maß folgt ja: [mm]\lambda[/mm] ([a,b])=b-a
> für a,b [mm]\in \IQ.[/mm]
> Unendlich minus unendlich geht ja
> schlecht. :)
> Wie schließe ich das auf ganz [mm]\IQ?[/mm]
[mm] \IQ [/mm] ist abzählbar, also [mm] \IQ= [/mm] { [mm] x_1, x_2,... [/mm] }
Wende 1) an und die [mm] \sigma [/mm] - Add. des L. -Maßes.
>
> zu 3.)Habe keine Ahnung ob das stimmt und wie ich an die
> Aufgabe ran muss.
Was glaubst Du wohl, will der Hinweis Dir sagen ?
Das Lebesgue-Maß auf den reellen Zahlen ist [mm] \sigma-endlich
[/mm]
Nun schränke dieses Maß ein auf die Unter [mm] -\sigma-Algebra [/mm] der co-abzählbaren Mengen.
FRED
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> Ich danke euch für jeden Denkanstoß.
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