seperabilität < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Mo 29.06.2009 | | Autor: | oby |
| Aufgabe | Sei K [mm] \subseteq [/mm] L eine Körpererweiterung mit charK=p>0 . Zeigen Sie:
Ist a [mm] \in [/mm] L algebraisch über K, so gibt es eine ganze Zahl n [mm] \ge [/mm] 0, so dass [mm] a^{p^n} [/mm] seperabel über K ist. |
Hallo, Hallo alle zusammen,
Hab bis jetzt lediglich herausgefunden, was algebraisch bedeutet, und was eine Charakteristik eine Körpers ist, aber was bringt mir das hier? Weiß gar nicht wie ich hie anfangen soll. Kann algebraisch/charakteristik nicht in Zusammenhang mit Seperabilität bringen. Bitte helft mir hier weiter!
MfG Oby
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Mo 29.06.2009 | | Autor: | SEcki |
> Hab bis jetzt lediglich herausgefunden, was algebraisch
> bedeutet, und was eine Charakteristik eine Körpers ist,
Und was heisst separabel?
> aber was bringt mir das hier? Weiß gar nicht wie ich hie
> anfangen soll. Kann algebraisch/charakteristik nicht in
> Zusammenhang mit Seperabilität bringen. Bitte helft mir
> hier weiter!
Betrachte das Minimalpolynom von a - kennst du dann Sätze, die Aussagen über irreduziblen Polynomen (hier das Min.pol) mit der Separabilität in Verbindung setzen?
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:27 Mi 01.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Oby
> Sei K [mm]\subseteq[/mm] L eine Körpererweiterung mit charK=p>0 .
> Zeigen Sie:
> Ist a [mm]\in[/mm] L algebraisch über K, so gibt es eine ganze
> Zahl n [mm]\ge[/mm] 0, so dass [mm]a^{p^n}[/mm] seperabel über K ist.
>
> Hallo, Hallo alle zusammen,
> Hab bis jetzt lediglich herausgefunden, was algebraisch
> bedeutet, und was eine Charakteristik eine Körpers ist,
> aber was bringt mir das hier? Weiß gar nicht wie ich hie
> anfangen soll. Kann algebraisch/charakteristik nicht in
> Zusammenhang mit Seperabilität bringen. Bitte helft mir
> hier weiter!
Betrachte die Koerpererweiterung $K [mm] \subseteq [/mm] K(a)$; diese ist endlich (warum?). Betrachte nun den separablen Abschluss $E$ von $K$ in $K(a)$; du hast dann den Koerperturm $K [mm] \subseteq [/mm] E [mm] \subseteq [/mm] K(a)$, wobei $K [mm] \subseteq [/mm] E$ separabel ist und $E [mm] \subseteq [/mm] K(a)$ absolut inseparabel.
Jetzt beachte $K(a) = E(a)$, und entweder liegt $a$ schon in $E$ (womit du $n = 0$ waehlen kannst) oder $a$ ist rein inseparabel ueber $E$. Welche Form muss also das Minimalpolynom von $a$ ueber $E$ haben?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 Mi 01.07.2009 | | Autor: | oby |
Vielen Dank!
Bins nochmal mit eurer Hilfe durchgegangen und Hab's verstanden!
Mfg, Oby
|
|
|
|
