selbstadjungierte Abbildung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:30 Do 28.05.2009 | | Autor: | tux23 |
| Aufgabe | Sei V ein endlich-dimensionaler C-Vektorraum mit Skalarpro-
dukt, und f : V → V ein Endomorphismus. Zeigen Sie, daß f genau dann
selbstadjungiert ist, wenn es in V eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren gibt, und alle Eigenwerte von f reell sind.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich komme mit der ersten Bedingung nicht so ganz zurecht: "wenn es in V eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren gibt."
Bedingung 2 schlussfolgere ich aus der Definition von selbstadjungiert:
[mm] A=\overline{A}^{T}, [/mm] dann A selbstadjungiert. Also wenn [mm] f(A)=\overline{A}^{T} [/mm] dann f selbstadjungierte Abb.
D.h. wenn [mm] A=\overline{A} [/mm] oder [mm] A=\overline{A}^{T} [/mm] dann [mm] a_{ij} \in [/mm] R.
Stimmt das?
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> Sei V ein endlich-dimensionaler C-Vektorraum mit
> Skalarpro-
> dukt, und f : V → V ein Endomorphismus. Zeigen Sie,
> daß f genau dann
> selbstadjungiert ist, wenn es in V eine Orthonormalbasis
> von Eigenvektoren gibt, und alle Eigenwerte von f reell
> sind.
> Ich komme mit der ersten Bedingung nicht so ganz zurecht:
> "wenn es in V eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren
> gibt."
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Was meinst Du mit "komme nicht zurecht".
Welcher der Begriffe ist Dir unklar?
Man könnte es auch übersetzen mit " f ist unitär diagonalisierbar.".
>
> Bedingung 2
die reellen Eigenwerte?
> schlussfolgere ich aus der Definition von
> selbstadjungiert:
>
> [mm]A=\overline{A}^{T},[/mm] dann A selbstadjungiert.
> Also wenn
> [mm]f(A)=\overline{A}^{T}[/mm] dann f selbstadjungierte Abb.
Das ist Quark. Was soll denn f(A) bedeuten?
Der wahre Kern: f ist selbstadjungiert genau dann, wenn für die darstellende Matrix A gilt, daß [mm] A=\overline{A}^{T}.
[/mm]
>
> D.h. wenn [mm]A=\overline{A}[/mm] oder [mm]A=\overline{A}^{T}[/mm] dann
> [mm]a_{ij} \in[/mm] R.
>
> Stimmt das?
Nein. Was hast Du Dir dabei gedacht, wie kommst Du darauf, daß die [mm] a_i_j \in \IR [/mm] sind?
Laß uns an Deinen Gedanken teilnehmen, dann kann man besser helfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Do 28.05.2009 | | Autor: | tux23 |
Jetzt hast du micht total verwirrt. Wenn ich eine Matrix mit Einträgen aus C komplex konjungiere, ordne ich dem Imaginärteil eines jeden Eintrages seinen entgegengesetzten Wert zu, der Realteil bleibt gleich. Soll nun [mm] A=\overline{A} [/mm] sein, dann muss doch der Imaginärteil 0 sein, damit das überhaupt geht. Daraus schlussfolgere ich, dass dann alle Einträge der Matrix aus R sind, unabhängig, ob ich sie noch transponiere.
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> Jetzt hast du micht total verwirrt. Wenn ich eine Matrix
> mit Einträgen aus C komplex konjungiere, ordne ich dem
> Imaginärteil eines jeden Eintrages seinen entgegengesetzten
> Wert zu, der Realteil bleibt gleich. Soll nun
> [mm]A=\overline{A}[/mm] sein, dann muss doch der Imaginärteil 0
> sein, damit das überhaupt geht. Daraus schlussfolgere ich,
> dass dann alle Einträge der Matrix aus R sind, unabhängig,
> ob ich sie noch transponiere.
Oh weh.
Davon, daß [mm] A=\overline{A} [/mm] sein soll, ist doch bei Selbstadjungiertheit nicht die Rede.
Das Transponieren spielt eine riesengroße Rolle.
Was wird denn aus
[mm] A:=\pmat{ a_1+ia_2 & b_1+ib_2 \\ c_1+ic_2 & d_1+id_2 }, [/mm] wenn Du konjugierst und transponierst, und unter welchen Umständen ist hier [mm] A=\overline{A} [/mm] ^{T}.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Do 28.05.2009 | | Autor: | tux23 |
so hier?
[mm] \overline{A}^{T}=\pmat{a_1-i*a_2 & c_1-i*c_2 \\ b_1-i*b_2 & d_1-i*d_2}
[/mm]
d.h. [mm] a_1+i*a_2=a_1-i*a_2 [/mm] was doch nur erfüllt ist, wen [mm] a_2=0 [/mm] ?
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> so hier?
>
> [mm]\overline{A}^{T}=\pmat{a_1-i*a_2 & c_1-i*c_2 \\ b_1-i*b_2 & d_1-i*d_2}[/mm]
>
> d.h. [mm]a_1+i*a_2=a_1-i*a_2[/mm] was doch nur erfüllt ist, wen
> [mm]a_2=0[/mm] ?
Ja. Und weiter?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Do 28.05.2009 | | Autor: | tux23 |
[mm] a_1-ia_2=a_1+ia_2 \Rightarrow -a_2=+a_2=0
[/mm]
[mm] b_1-i*b_2=c_1+i*c_2 \Rightarrow -b_2=+c_2=0
[/mm]
[mm] c_1-ic_2=b_1+ib_2 \Rightarrow -c_2=b_2=0
[/mm]
[mm] d_1-id_2=d_1+id_2 \Rightarrow -d_2=d_2=0
[/mm]
D.h. aus [mm] A=\overline{A}^{T} [/mm] folgt
[mm] \pmat{a_1&c_1\\b_1&d_1}=\pmat{a_1&b_1\\c_1&d_1}
[/mm]
D.H. [mm] A=\pmat{a_1&e_1\\e_1&d_1} [/mm] mit [mm] a_1,e_1,d_1 \in [/mm] R
Jetzt steh ich immer noch vor dem Problem von oben, wie zeige ich jetzt, dass es genau dann eine Orthonormalbasis gibt und die Eigenwerte reell sind (sind die Eigenwerte vielleicht die Spaltenvektoren [mm] \pmat{a_1\\e_1}, \pmat{e_1\\d_1} [/mm] ?)
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> [mm]a_1-ia_2=a_1+ia_2 \Rightarrow -a_2=+a_2=0[/mm]
Hallo, das stimmt.
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> [mm]b_1-i*b_2=c_1+i*c_2 \Rightarrow -b_2=+c_2=0[/mm]
Nein.
>
> [mm]c_1-ic_2=b_1+ib_2 \Rightarrow -c_2=b_2=0[/mm]
Nein.
> [mm]d_1-id_2=d_1+id_2 \Rightarrow -d_2=d_2=0[/mm]
Das stimmt.
>
> D.h. aus [mm]A=\overline{A}^{T}[/mm] folgt
> [mm]\pmat{a_1&c_1\\b_1&d_1}=\pmat{a_1&b_1\\c_1&d_1}[/mm]
> D.H. [mm]A=\pmat{a_1&e_1\\e_1&d_1}[/mm] mit [mm]a_1,e_1,d_1 \in[/mm] R
Wundert es Dich nicht, daß Du hier wieder reelle Einträge verkündest, obgleich ich Dir schon gesagt hatte, daß das falsch ist?
>
> Jetzt steh ich immer noch vor dem Problem von oben,
Zunächst hast Du noch das gravierende Problem, daß Du immer noch nicht weißt, wie die Matrix aussieht, und vorher braucht man sich über den Rest keine Gedanken zu machen.
Lös' doch mal [mm] b_1-i*b_2=c_1+i*c_2 [/mm] langsam. den Imaginärteil zusammenfassen, den Realteil zusammenfassen, dann denken.
Gruß v. Angela
wie
> zeige ich jetzt, dass es genau dann eine Orthonormalbasis
> gibt und die Eigenwerte reell sind (sind die Eigenwerte
> vielleicht die Spaltenvektoren [mm]\pmat{a_1\\e_1}, \pmat{e_1\\d_1}[/mm]
> ?)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mi 03.06.2009 | | Autor: | tux23 |
Ok ich habe mich nochmal an die Aufgabe gemacht...
Wenn f:V->V eine selbstadjungierte Abbildung, dann ist die zugehörige Abbildungsmatrix A eine adjungierte Matrix in 2x2.
Es gilt [mm] A=\overline{A}^T=\overline{A^T} [/mm] .
Sei nun [mm] A=\pmat{a_1+i*a_2&b_1+i*b_2\\c_1+i*c_2&d_1+i*d_2}
[/mm]
d.h: wenn [mm] A=\overline{A}^T [/mm] dann
[mm] a_1+i*a_2=a_1-i*a_2,
[/mm]
[mm] b_1+i*b_2=c_1-i*c_2,
[/mm]
[mm] c_1+i*c_2=b_1-i*b_2,
[/mm]
[mm] d_1+i*d_2=d_1-i*d_2;
[/mm]
1. und 4. wurde bereits gezeigt. (d.h. [mm] a_2=d_2=0) [/mm]
Für 2. und 3. gilt:
[mm] b_1=c_1 [/mm] und [mm] b_2=-c_2
[/mm]
(Dies erhalte ich wie folgt:
[mm] b_1+i*b_2=c_1-i*c_2 \gdw b_1-c_1+i*(b_2+c_2)=0 \gdw b_1=c_1 [/mm] und [mm] b_2=c_2=0)
[/mm]
Tut mir Leid Angela, wie kann man das sonst noch zusammen fassen?
Sein nun o. E. [mm] b_1=c_1=e_1 [/mm] dann erhalte ich für A
[mm] A=\pmat{a_1&e_1\\e_1&d_1}
[/mm]
Da alle Einträge von A nun aus R sind, sind auch alle Einträge von diag(A) aus R. Aus [mm] det(diag(A)-\lambda*E) [/mm] kann ich nun die Eigenwerte berechnen:
[mm] det(diag(A)-\lambda*E)=(a_1-\lambda)*(d_1-\lambda)-e_2^2
[/mm]
Da [mm] \lambda \in [/mm] R sind auch die Eigenwerte aus R. (2. Bedingung erfüllt)
Um nun die Existenz einer Orthonormalbasis nachzuweisen, würde ich zeigen, das man A mit den Gauß-Jordan-Verfahren in Diagonalforma bringen und anschließend Normieren kann, indem man jede Zeile der Diagonalmatrix mit dem Kehrwert von sich selbst multipliziert. Dann erhalte ich die Einheitsmatrix und diese ist normiert.
Wird das jetzt langsam richtiger oder war das wieder totaler Quatsch? 
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> Ok ich habe mich nochmal an die Aufgabe gemacht...
>
> Wenn f:V->V eine selbstadjungierte Abbildung, dann ist die
> zugehörige Abbildungsmatrix A eine adjungierte Matrix in
> 2x2.
>
> Es gilt [mm]A=\overline{A}^T=\overline{A^T}[/mm] .
>
> Sei nun [mm]A=\pmat{a_1+i*a_2&b_1+i*b_2\\c_1+i*c_2&d_1+i*d_2}[/mm]
>
> d.h: wenn [mm]A=\overline{A}^T[/mm] dann
> [mm]a_1+i*a_2=a_1-i*a_2,[/mm]
> [mm]b_1+i*b_2=c_1-i*c_2,[/mm]
> [mm]c_1+i*c_2=b_1-i*b_2,[/mm]
> [mm]d_1+i*d_2=d_1-i*d_2;[/mm]
>
> 1. und 4. wurde bereits gezeigt. (d.h. [mm]a_2=d_2=0)[/mm]
> Für 2. und 3. gilt:
>
> [mm]b_1=c_1[/mm] und [mm]b_2=-c_2[/mm]
>
> (Dies erhalte ich wie folgt:
> [mm]b_1+i*b_2=c_1-i*c_2 \gdw b_1-c_1+i*(b_2+c_2)=0 \gdw b_1=c_1[/mm]
> und [mm]b_2=c_2=0)[/mm]
Hallo,
damit kann man was anfangen, und ich hoffe, daß es Dir gleich wie Schuppen aus den Augen fällt.
Du hast [mm] b_1-c_1+i*(b_2+c_2)=0 [/mm] .
Daraus folgt doch nicht das, was Du schreibst, sondern es folgt
[mm] b_1-c_1=0 [/mm] (das hast Du auch)
und
[mm] b_2+c_2=0 [/mm] (das hattesat Du bisher nie)
Und damit weißt Du nun, wie selbstadjungierte Matrizen aussehen - und daß sie nicht nur reelle Einträge haben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Do 04.06.2009 | | Autor: | tux23 |
Gut ok jetzt hab ichs kapiert.
Also nächster Versuch:
aus [mm] b_1=c_1 [/mm] und [mm] b_2=c_2 [/mm] kann ich schließen, dass A nun o. E. die Form
[mm] A=\pmat{a_1&c_1-i*c_2\\c_1+i*c_2&d_1}
[/mm]
Um nun die Eigenwerte zu berechnen muss ich die Gleichung
[mm] det(A-\lambda*E)=0 [/mm] berechnen.
D.h. [mm] det(A-\lambda*E)=(a_1-\lambda)*(d_1-\lambda)-(c_1+i*c_2)*(c_1-i*c_2)=(a_1-\lambda)*(d_1-\lambda)-c_1^2-c_2^2.
[/mm]
Als Lösung dieser Gleichung, bzw. Eigenwerte erhalte ich nun
[mm] \lambda_1=-\frac{\sqrt{{d_1}^{2}-2\,a_1\,d_1+4\,{c_2}^{2}+4\,{c_1}^{2}+{a_1}^{2}}-d_1-a_1}{2},\lambda_2=\frac{\sqrt{{d_1}^{2}-2\,a_1\,d_1+4\,{c_2}^{2}+4\,{c_1}^{2}+{a_1}^{2}}+d_1+a_1}{2}
[/mm]
Das heißt, die Eigenwerte von f sind reell (zweite Bedingung erfüllt).
Wie zeige ich nun, dass es eine Orthonormalbasis in V gibt? V ist doch nur ein Vektor. Oder reicht es, wenn ich wie oben vorgeschlagen verfahre, also einfach A erst mit Gauß-Jordan umformen und dann in eine Einheitsmatrix bringen, um damit eine Orthonormalbasis zu erhalten?
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Hallo,
Du willst ja jetzt zeigen:
1. A selbstadjungiert ==> EWe reell und es gibt ONB aus Eigenvektoren.
2. EWe reell und es gibt ONB aus Eigenvektoren ==> A selbstadjungiert.
Die 2. ist kein Thema, denke ich.
Also zur 1.:
Du kannst für den Beweis nicht mit 2x2-Matrizen rumwurschteln, das soll ja für beliebige nxn-Matrizen gezeigt werden.
Das Spielchen mit der 2x2-Matrix war ja nur, damit Du weißt, wie selbstadjungierte Matrizen aussehen.
Sei A eine selbstadjungierte Matrix mit dem EW [mm] \lambda [/mm] und dem EV v, also [mm] Av=\lambda [/mm] v.
Berechne hierfür mal [mm] ...=\overline{Av}^{T}v=....
[/mm]
Ziel [mm] \lambda=\overline{\lambda}.
[/mm]
Für die ONB zeige, daß die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind. (Innerhalb der Eigenräume kann man ja ggf. mit gram-Schmidt orthogonalisieren.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Do 04.06.2009 | | Autor: | tux23 |
danke für die Antwort, da werde ich wohl noch eine weile sitzen,
nur bevor ich Anfange,
ich dachte, dass ich wenigstens für die Hinrichtung (also [mm] \Rightarrow) [/mm] annehmen kann, dass es sich um 2x2 Matrizen handelt, da ja V ein Vektorraum ist und f: V -> V doch bedeutet, dass ich einen Vektor auf einen anderen Vektor abbilde, das hieße doch dann dass die zugehörige Abbildungsmatrix genau 2 Spalten haben muss. Wenn nun A gleich ihrer komplex konvergierten transponierten sein soll, dann kommen ja nur noch 2x2 Matrizen in Frage, da ich das mit dem Transponieren doch sonst vergessen kann? (Dann kann ich die obige Hinrichtung doch so lassen und brauch nur noch schnell zeigen, dass die zu den EWs gehörigen EV orthogonal sind...?)
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> danke für die Antwort, da werde ich wohl noch eine weile
> sitzen,
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> nur bevor ich Anfange,
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> ich dachte, dass ich wenigstens für die Hinrichtung (also
> [mm]\Rightarrow)[/mm] annehmen kann, dass es sich um 2x2 Matrizen
> handelt, da ja V ein Vektorraum ist und f: V -> V doch
> bedeutet, dass ich einen Vektor auf einen anderen Vektor
> abbilde, das hieße doch dann dass die zugehörige
> Abbildungsmatrix genau 2 Spalten haben muss.
Hallo,
das wäre so, wenn in der Aufgabenstellung stünde, daß V die Dimension 2 hat.
Dort steht aber endlichdimensional, also muß man das für dim V=n durchrechnen.
Die Matrizen wären nxn-Matrizen.
> Wenn nun A
> gleich ihrer komplex konvergierten transponierten sein
> soll, dann kommen ja nur noch 2x2 Matrizen in Frage, da ich
> das mit dem Transponieren doch sonst vergessen kann? (Dann
> kann ich die obige Hinrichtung doch so lassen
Ich habe jetzt nicht geprüft, ob unter den Wurzeln wirklich die richtigen Buchstaben stehen.
Um zu wissen, daß die Eigenwerte reell sind, müßtest Du noch überzeugend darlegen, daß nichts Negatives unter den Wurzeln ist.
Der von mir vorgeschlagenene Weg zum Zeigen der reellen Eigenwerte ist äußerst fix. Du mußt hier nur mit Eigenschaften von A arbeiten, und brauchst die Matrizen nicht elementweise hinzuschreiben.
Gruß v. Angela
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