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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 So 28.09.2014 | | Autor: | sinalco |
| Aufgabe | Warum gilt in einer Hilbertebene im Allgemeinen nicht die Umkehrung des schwachen Wechselwinkelsatzes?
Schwacher Wechselwinkelsatz:
Haben in einer Hilbertebene zwei von einer Transversalen geschnittene Geraden ein Paar kongruenter Wechselwinkel, so sind sie parallel.
Definition Hilbertebene: 5-Tupel [mm] (P,G,\*,\cong [/mm] S, [mm] \cong [/mm] W) das die Inzidenzaxiome, die Anordnungsaxiome und die Kongruenzaxiome für Strecken und Winkel erfüllt. |
Also es gibt noch einen (starken) Wechselwinkelsatz in dem Skript an dem ich mich orientiere. Dieser besagt:
Sei H eine Hilbertebene, die das Parallelenaxiom erfüllt. Seinen g [mm] \parallel [/mm] h zwei parallele Geraden und t eine Transversale zu g und h. Dann haben g, h bezüglich t zwei Paare kongruenter Wechselwinkel.
Ich vermute jetzt, dass die Umkehrung des schwachen Wechselwinkelsatzes nicht funktioniert, weil eine Hilbertebene im Allgemeinen nicht das Parallelenaxiom erfüllt.
Schön wäre jetzt allerdings noch ein Beispiel mit der ich das untermauern könnte. Also eine Hilbertebene die keine affine Ebene ist.
Grüße und Danke
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Hallo sinalco,
> Warum gilt in einer Hilbertebene im Allgemeinen nicht die
> Umkehrung des schwachen Wechselwinkelsatzes?
>
> Schwacher Wechselwinkelsatz:
> Haben in einer Hilbertebene zwei von einer Transversalen
> geschnittene Geraden ein Paar kongruenter Wechselwinkel, so
> sind sie parallel.
>
> Definition Hilbertebene: 5-Tupel [mm](P,G,\*,\cong[/mm] S, [mm]\cong[/mm] W)
> das die Inzidenzaxiome, die Anordnungsaxiome und die
> Kongruenzaxiome für Strecken und Winkel erfüllt.
> Also es gibt noch einen (starken) Wechselwinkelsatz in dem
> Skript an dem ich mich orientiere. Dieser besagt:
>
> Sei H eine Hilbertebene, die das Parallelenaxiom erfüllt.
> Seinen g [mm]\parallel[/mm] h zwei parallele Geraden und t eine
> Transversale zu g und h. Dann haben g, h bezüglich t zwei
> Paare kongruenter Wechselwinkel.
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> Ich vermute jetzt, dass die Umkehrung des schwachen
> Wechselwinkelsatzes nicht funktioniert, weil eine
> Hilbertebene im Allgemeinen nicht das Parallelenaxiom
> erfüllt.
>
> Schön wäre jetzt allerdings noch ein Beispiel mit der ich
> das untermauern könnte. Also eine Hilbertebene die keine
> affine Ebene ist.
Schau mal hier zur Poincare-Ebene:
![[]](/images/popup.gif) Skript,
Seite 99 / 100. Das ist eine Hilbertebene, die das starke Parallelenaxiom nicht erfüllt.
Hilft das?
Viele Grüße,
Stefan
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