schon wieder die obersumme :) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 So 10.10.2004 | | Autor: | Meninto |
hallo
ich bin im mathe lk und komm eigntlich recht gut klar aber ich hab da ne sehr wichtige stunde verpasst und mir fehlt deshalb einiges, ich würd mich freun wenn mir wer helfen kann
also wir haben gegeben f(x)=2x-x²
da sollen wir jetzt die obersumme brechnen von -1 bis 3
ich hab mir das teil mal gezeichnet und da ist erste teil bis 0 is -x der zweite x und dann sieht es für mich wie x² aus aber dann?
soll man sowas mit dem [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) dx} rechnen?
hilfe bitte..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 So 10.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Grüß dich!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Erst einmal möchte ich dir anbieten, eine andere Antwort von mir durchzulesen, da auch dort eine Obersumme berechnet wird und sie meines Erachtens ganz gut klar macht, wie das Integral zu verstehen ist und wie es sich auch anders schreiben lässt. Hier der Link: https://matheraum.de/read?f=1&t=2969&i=2971
Nun zu deinem Problem:
Grundsätzlich ist es wichtig, dass du, sollst du den Flächeninhalt (nicht das Integral, davon ist scharf zu unterscheiden: letzteres kann auch negativ sein, ein Flächeninhalt ist immer nichtnegativ) zwischen der X-Achse und dem Graphen berechnen, die Nullstellen errechnest. Dann kannst du zwischen den einzelnen Nullstellen die Flächeninhalte berechnen, sie evt. ins Positive umkehren und sie zuletzt, wenn du alle berechnet hast, aufsummieren, was dir den gesuchten Flächeninhalt liefert.
Sollst du das Integral zwischen zwei Grenzen berechnen, so kann es dir vollkommen egal sein, wo welche Nullstellen vorliegen - denn ein Integral kann auch negativ sein.
Leider weiß ich nicht, was du berechnen sollst, glaube aber, dass letzteres gemeint und du dir somit einiges an Arbeit sparen könntest. Daher erkläre ich jetzt, wie du es so machen kannst, in der Hoffnung, dass es auch so gemeint ist. Wenn nicht, dann sag das und ich erkläre dir die andere Variante.
Wie auch schon in dem Link zu lesen, den ich dir oben geschickt habe (lies den Teil bitte nach), gilt:
$ [mm] \integral_{0}^{b}{f(x)\cdot dx}=\limes_{n\to\infty}\frac{b}{n}\cdot\summe_{i=1}^{n}{f\left(\frac{b}{n}\cdot i\right)}$ [/mm]
Wie du siehst wird hier das Integral von 0 bis b berechnet, du möchtest aber von a bis b berechnen. Dazu müssen wir etwas ändern:
Der Faktor [mm] $\frac{b}{n}$ [/mm] vor der Summe gibt die Rechtecksbreite an, berechnet durch Division von Gesamtbreite $b$ durch Anzahl der Rechtecke. Die Breite ist im übertragenen Falle auf ein Integral mit Untergrenze verschieden zu Null nicht $b$ sondern $b-a$. Somit ergibt sich [mm] $\frac{b-a}{n}$ [/mm] für die Rechtecksbreite. Innerhalb der Summe und, noch genauer, im Argeumtn der Funktion soll die X-Position angegeben werden, bei der wir uns momentan befinden. Diese setzt sich zusammen aus Rechtecksbreite [mm] $\frac{b}{n}$ [/mm] und Anzahl der bisher berechneten Rechtecke $i$. Wieder müssen wir hier die Rechtecksbreite wie zuvor auch ändern, zudem aber noch den Summaden $a$ vorschieben, da dieser die neue Untergrenze und nicht mehr die Null ist. Insgesamt ergibt sich dann verbal ausgedrückt: Nimm die Untergrenze a als Basis, multipliziere die Rechtecksbreite mit derNummer der zu berechnenden Rechtecks und addiere dies zu a, so gelangst du an den Punkt, der in der Ecke rechts unten des zu berechnenden Rechtecks liegt (wenn es hier irgendwelche Unklarheiten gibt, z.B. durch diese evt. verwirrende Erklärung, dann frag einfach nach!). Es ergibt sich also folgende modifizierte Formel für das Integral über $f(x)$ in den Grenzen a und b:
$ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)\cdot dx}=\limes_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}\cdot\summe_{i=1}^{n}{f\left(a+\frac{b-a}{n}\cdot i\right)}$
[/mm]
So, und hier musst du nun für $f(x)$ deine Funktionsvorschrift, nämlich [mm] $2x-x^2$ [/mm] einsetzen und das ganze ausrechnen. Ich habe es in meinem Taschenrechner eingetippt, es kommt auf jeden Fall das richtige raus. Ich hoffe, dass es nicht zu viel Rechenarbeit ist. Denke daran, dass du hier die Summenformeln anwenden müssen wirst, die wie folgt lauten:
[mm] $\summe_{i=1}^{n}{i}=\frac{n(n+1)}{2}$
[/mm]
[mm] $\summe_{i=1}^{n}{i^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
[/mm]
[mm] $\summe_{i=1}^{n}{i^3}=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
[/mm]
So, und nun viel Erfolg beim Rechnen. Wenn es Probleme gibt, poste deine Rechnung oder die Unverständlichen Stellen meiner Erklärung und wir schauen weiter!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 So 10.10.2004 | | Autor: | Meninto |
Hallo!
Danke für die schnelle Antwort,
aber ich brauch den flächeninhalt, tut mir leid, dass ich mich nicht klar ausgedrückt hab, aber ich brauch das was Du gemacht hast ebenso. Danke.
es wär echt super wenn ich das mit dem flächeninhalt auch noch erklärt bekommen könnte, danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 So 10.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Grüß dich!
Für den Flächeninhalt würde ich das so machen:
Du löst die Summe auf, ohne einen Wert für a und b einzusetzen. Wenn du das gemacht hast, suchst du dir die Nullstellen und bildest die einzelnen Summen für a und b als aufeinanderfolgende Nullstellen. Negatives musst du dann ins Positive umkehren. Letztenendes summierst du alles auf und erhältst das Endergebnis. Das habe ich aber auch in der ersten Antwort beschrieben.
Liebe Grüße und Viel Erfolg!
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 So 10.10.2004 | | Autor: | Meninto |
Danke für deine Hilfe!
ich hab es jetzt super verstanden
vielen dank
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