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| Aufgabe | | Sei $f$ eine ganze Funktion mit $f'(z) [mm] \neq [/mm] 0$ und $| f(z) - z| [mm] \leq e^{Re(z)}$ [/mm] für alle $z$ aus $C$. Zeigen Sie, dass $f(z) = z$ für alle $z$ aus $C$ gelten muss |
hi, ich hab auch die lösung zu der aufgabe, zunächst wird eine fkt $g = exp$ definiert, sodass $| f(z) - z| [mm] \leq [/mm] |g(z)|$ ist.
Dann allerdings folgt angeblich mit Hilfe des Satzes von Liouville, dass ein c existiert, sodass $f(z) - z = c * [mm] e^z$.
[/mm]
kann mir das jemand erklären?? g ist doch nach oben nicht beschränkt...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Mo 07.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]f[/mm] eine ganze Funktion mit [mm]f'(z) \neq 0[/mm] und [mm]| f(z) - z| \leq e^{Re(z)}[/mm]
> für alle [mm]z[/mm] aus [mm]C[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm]f(z) = z[/mm] für alle [mm]z[/mm]
> aus [mm]C[/mm] gelten muss
> hi, ich hab auch die lösung zu der aufgabe, zunächst
> wird eine fkt [mm]g = exp[/mm] definiert, sodass [mm]\blue{| f(z) - z| \leq |g(z)|}[/mm]
> ist.
> Dann allerdings folgt angeblich mit Hilfe des Satzes von
> Liouville, dass ein c existiert, sodass [mm]f(z) - z = c * e^z[/mm].
>
> kann mir das jemand erklären?? g ist doch nach oben nicht
> beschränkt...
in der Tat ist sicherlich [mm] $g\,$ [/mm] nicht beschränkt. Aber betrachte mal die Funktion
$$h: [mm] \IC \to \IC,\;\;z \mapsto h(z):=\frac{f(z)-z}{g(z)}\,.$$
[/mm]
Hier gilt [mm] $\blue{|h(z)| \le 1}\,,$ [/mm] (für jedes $z [mm] \in \IC$) [/mm] und damit ist [mm] $h=\text{const}$ [/mm] nach Liouville (es wäre noch kurz die Holomorphie von [mm] $h\,$ [/mm] auf [mm] $\IC$ [/mm] zu begründen, was sicher mit einem Satz geht).
Beachte auch (Wohldefiniertheit von [mm] $h\,,$ [/mm] d.h. [mm] $g(z)\not=0$ [/mm] für jedes [mm] $z\,$):
[/mm]
[mm] $$|\exp(z)|=|e^{x+iy}|=|e^x|*\underbrace{|e^{iy}|}_{=1}=e^x [/mm] > [mm] 0\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $x:=\text{Re}z$ [/mm] und [mm] $y:=\text{Im}z$, [/mm] also insbesondere $x,y [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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