satz von beppo levi < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Di 16.06.2009 | | Autor: | simplify |
hallöchen,
ich hab da so meine Probleme den satz von beppo levi zu verstehen und wollte fragen ob mir vielleicht jemand sagen kann was er über monotone folgen lebesgue-integrierbarer funktionen aussagt???
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] (\Omega,\mathcal{S},\mu) [/mm] ein Maßraum. Für jede Folge [mm] (f_n)_{n\in\N} [/mm] nichtnegativer, messbarer Funktionen [mm] f_n:\Omega\to\IR\cup\{\infty\}, [/mm] die [mm] \mu-fast [/mm] überall monoton wachsend gegen eine messbare Funktion [mm] f:\Omega\to\IR\cup\{\infty\} [/mm] konvergiert, gilt
$ [mm] \int_\Omega [/mm] f d [mm] \mu [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} \int_\Omega f_n\ d\mu [/mm] $
Dann leg mal los, was Dir dabei nicht klar ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Di 16.06.2009 | | Autor: | simplify |
naja mir ist nicht klar was ein maßraum ist und was messbar bedeutet....
und naja lebesgueintegrierbar kommt ja so nicht vor, zumindest nicht in dem teil den ich verstehe...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Di 16.06.2009 | | Autor: | Disap |
> naja mir ist nicht klar was ein maßraum ist und was messbar
> bedeutet....
> und naja lebesgueintegrierbar kommt ja so nicht vor,
> zumindest nicht in dem teil den ich verstehe...
messbar alleine ist auch ein bisschen konfus; es gibt messbare Maße (z. B.) oder messbare Funktionen, aus dem Zusammenhang entnehme ich, dass es dir um messbare Funktionen geht.
Eine Funktion f: [mm] \Omega \to \IR [/mm] ist messbar, wenn für jedes Intervall [mm] [\alpha, \beta[ \subset \IR [/mm] folgendes gilt:
[mm] f^{-1}([\alpha,\beta[) \in \Omega
[/mm]
Und wenn du jetzt eine Funktion mit beliebigen Mengen X und Y betrachtest, nämlich f: X [mm] \to [/mm] Y, und du Sigma-Algebren darauf hast, z. B.
[mm] \mathcal{A} [/mm] ist [mm] \sigma [/mm] -Algebra über X, dann bekommst du als Paar (X, [mm] \mathcal{A}) [/mm] als einen Meßraum. (Das kannst du einfach als eine Notation betrachten)
Jetzt muss es auf [mm] \mathcal{A} [/mm] kein Maß geben, aber wenn du darauf ein Maß [mm] \mu [/mm] : [mm] \mathcal{A} \to \overline{\mathbb{R}} [/mm] definiert hast, dann bekommst du insgesamt
(X, [mm] \mathcal{A}, \mu) [/mm] als einen Maßraum.
Und dann kann man das wieder verallgemeinern, z. B. wenn du zwei verschiedene Meßräume hast, und du eine Abbildung von einem Maßraum in den anderen hast; aber darum geht es ja bei Beppi-Levo nicht.
MfG
Disap
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