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Sei K der positiv orientierte Kreis um 0 mit Radius 2. Berechnen Sie das komplexe Kurvenintegral
[mm] \integral_{K}^{}{z / [(z - 1)^{2} (z + j)] dz}
[/mm]
ich habe mit Hilfe des Residuensatzes das folgende Ergebnis bekommen:
[mm] \integral_{K}^{}{z / [(z - 1)^{2} (z + j)] dz} [/mm] = ... = [mm] \pi [/mm] ( 1 - j )
könnte das jemand vielleicht mal kurz nachrechnen und bestätigen oder auch nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
so ganz komme ich nicht auf Dein Ergebnis, ich bekomme sogar 0 dabei heraus, aber der Reihe nach:
Wir haben im Integrationsgebiet zwei Pole, ein doppelter Pol bei z =1 und ein einfacher Pol bei z = -j.
Die Funktion lautet
$$ [mm] \bruch{z}{(z-1)^2 \cdot (z+j)} [/mm] $$
Für die Berechnung des Residuums bei der doppelten Polstelle berechne ich den Grenzwert gegen 1 für die Ableitung des Ausdrucks
$$ [mm] \bruch{z}{z+j} [/mm] $$
Hier entsteht im Nenner ein Quadrat und man erhält [mm] \bruch{j}{(1+j)^2} [/mm] oder ausmultipliziert kommt 1/2 dabei heraus.
Für den einfachen Pol bei -j bekomme ich einen Ausdruck von [mm] \bruch{-j}{(-1-j)^2} [/mm] heraus, was ausmultipliziert -1/2 ergibt. Die Summe der Residuen ist also Null.
Ich hoffe, ich habe mich dabei nicht verhauen. Zeig doch mal Deinen Rechenweg, dann kommen wir schneller weiter.
Viele Grüße,
Infinit
Viele Grüße,
Infinit
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@ infinit: deine rechnung stimmt
ich hab bei der berechnung des residuums der doppelten polstelle ein "j" übersehen:)
hatte dann statt [mm] \bruch{j}{(1+j)^2} [/mm]
[mm] \bruch{1}{(1+j)^2} [/mm] dastehen und somit kam auch nicht das richtige ergebnis raus
"0" als ergebnis stimmt
danke nochmal fürs nachrechnen:)
hmm, funktionentheorie wurde bei uns in der vorlesung nur sehr kurz behandelt
in der klausur kommts trotzdem dran:)
mir fehlt irgendwie das verständnis dafür
wie müsste man denn bei der berechnung eines solchen kurvenintegrals vorgehen, wenn ein pol außerhalb des integrationsgebietes liegen würde
bzw. würde das überhaupt funktionieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Infinit |
Die Vorgehensweise ist die gleiche. Man kann ein Kurvenintegral natürlich auch im klassischen Sinne als Wegintegral lösen. Im Komplexen kann dies recht aufwendig werden und deswegen mutzt man so gerne den Residuensatz, denn hier muss man nur die Residuen der Polstellen bestimmen und diese aufaddieren. Liegen keine Pole innerhalb des geschlossenen Kurvenintegrals, so kann man das Ergebnis, nämlich 0, sofort hinschreiben. Pole außerhalb des Integrationsgebietes tragen nichts zum Ergebnis bei.
Viele Grüße,
Infinit
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alles klar, danke nochmals :)
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