rekursive folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Mo 17.11.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | seien [mm] a_2>a_1>0 [/mm] und [mm] a_{n+1}=\bruch{a_n+a_{n-1}}{2} [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 2 rekursiv definiert. Zeige:
a) [mm] (a_{2n}) [/mm] und [mm] (a_{2n-1}) [/mm] sind monotone folgen
[mm] b)(a_{2n}) [/mm] und [mm] (a_{2n-1}) [/mm] haben den gleichen grenzwert
c) [mm] lima_n= \bruch{2a_2+a_1}{3} [/mm] |
hallo
kurz zu meinem verständnis: betrachte ich praktisch 2 teilfolgen- einmal alle glieder mit geraden indizes und einmal alle mit ungeraden?
zu a) für die erste müsste ich doch monoton steigend und für die zweite fallend erhalten, oder? weiß nur nicht ganz, wie ichs zeig:
für [mm] (a_{2n}) [/mm] und das folgeglied müsste ja gelten:
[mm] \bruch{a_{2n+1}+a_{2n}}{2}\ge \bruch{a_{2n-1}+a_{2n-2}}{2}
[/mm]
wie kann ich das nun genau beweisen?
b) meine vermutung durch probieren: e. aber wie zeigen???
c) und überhaupt weiß ich überhaupt nicht, wie ich an die grenzwertberechnung herangehe....
danke für jede hilfe!
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a) Ja, es werden Teilfolgen betrachtet: die mit geraden bzw. mit ungeraden Indices. Wenn du meinst, dass [mm] (a_{2n}) [/mm] monoton steigend ist, dann musst du zeigen, dass für alle n gilt: [mm] a_{2n}
Analog bei ungeraden Indices monoton fallend, dann ist zu zeigen, dass für alle n gilt: [mm] a_{2n+1}
Für alle n gilt [mm] a_{n}>0 [/mm] (Zeige es!).
Ist eine der obigen Teilfolgen monoton fallend, so ist sie konvergent, da sie nach unten durch 0 beschränkt ist. Für monoton steigend ist die Konvergenz so noch nicht klar.
b) Seien [mm] g_{2} [/mm] bzw. [mm] g_{1} [/mm] die Grenzwerte deiner Teilfolge. Betrachte am einfachsten [mm] g_{2}-g_{1}.
[/mm]
c) Versuche den Grenzwert der Teilfolgen mittels [mm] a_{2} [/mm] bzw. [mm] a_{1} [/mm] auszudrücken. Vermutlich kommst du damit weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Mo 17.11.2008 | | Autor: | jura |
hallo und danke
a) ich hatte micht > sondern [mm] \ge [/mm] verwendet, weil ja nicht strenge monotonie gefordert ist, oder?! wie schon im ersten beitrage geschrieben, hab ich die ungleichung bereits dastehn, weiß aber nicht weiter--kann mir an der stelle jemand helfen bitte?
un d warum ist noch konvergenz zu zeigen? monotonie gilt doch auch so, oder?
b)k.a. was ich dann weiter einsetze, bei mir steht dann [mm] lim(a_{2n})-lim(a_{2n-1})= lim(0,5*(a_{2n-1}-a_{2n-3})) [/mm] und das müsste 0 sein???
c)wie soll das denn gehn??
der grenzwert von [mm] a_n [/mm] müsste doch der gleiche sein wie für beide teilfolgen, oder??
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> hallo und danke
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> a) ich hatte micht > sondern [mm]\ge[/mm] verwendet, weil ja nicht
> strenge monotonie gefordert ist, oder?! wie schon im ersten
> beitrage geschrieben, hab ich die ungleichung bereits
> dastehn, weiß aber nicht weiter--kann mir an der stelle
> jemand helfen bitte?
Hallo,
Du willst ja u.a. zeigen, daß [mm] $a_{2n}- a_{2n+1} \ge [/mm] 0$ ist.
Hier würde ich Induktion vorschlagen.
> un d warum ist noch konvergenz zu zeigen? monotonie gilt
> doch auch so, oder?
Aber aus der Monotonie folgt ja nicht die Konvergenz.
Für die wachsende der Folgen ist die Konvergenz zunächst nicht klar, denn wir wissen ja noch nicht, ob sie nach oben beschränkt ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Di 18.11.2008 | | Autor: | jura |
in a) hab ich aber doch lediglich die monotonie zu zeigen, die
beschränktheit und konvergenz dann erst in b). für die ungerade folge ist die beschränktheit klar, wie finde ich für die andere eine obere schranke? und wie komme ich auf den grenzwert?
danke und tschüss
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> die
> beschränktheit und konvergenz dann erst in b). für die
> ungerade folge ist die beschränktheit klar,
Hallo,
wieso denn?
> wie finde ich
> für die andere eine obere schranke?
Der Startwert.
> und wie komme ich auf
> den grenzwert?
Den braucht man doch gar nicht zu suchen. Der ist ja angegeben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Di 18.11.2008 | | Autor: | jura |
die folge ungerader indizes ist fallend und nach unten beschränkt wegen [mm] a_1>0. [/mm] und die gerade folge steigt ja monoton, wie finde ich dann die obere schranke--wie kann das der startwert sein??
im übrigen komm ich mit dem ind.beweis für monotonie auch nicht weiter: für die geraden folgen(gekürzt):
IS: [mm] a_{2n+2}-a_{2n+4} \ge a_{2n}-a_{2n+4} [/mm] hier habe ich die IV eingesetzt...aber bringt mich auch noch nicht zum ziel!
und bei deiner letzten aussage steh ich ebenfalls grad bissl auf dem schlauch- ich kenne den grenzwert?? ist es der gleiche wie für die folge [mm] a_n [/mm] (hatte ich schonmal gefragt)?
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> die folge ungerader indizes ist fallend und nach unten
> beschränkt wegen [mm]a_1>0.[/mm]
> und die gerade folge steigt ja
> monoton,
Hallo,
nein, das ist genau andersrum.
Beachte die Bedingung an die Startwerte.
Bzgl der fehlenden Schranke: es ist ja wie gesagt der Grenzwert in der Aufgabe bereits angegeben.
Hast Du schonmal versucht zu zeigen, daß er eine obere Schranke der wachsenden Folge ist? (Ich hab's nicht gerechnet, ob das einfach ist.)
Eine weitere obere Schranke dürfte ja auch [mm] a_2 [/mm] sein. das geht sicher leicht zu zeigen.
> im übrigen komm ich mit dem ind.beweis für monotonie auch
> nicht weiter: für die geraden folgen(gekürzt):
> IS: [mm]a_{2n+2}-a_{2n+4} \ge a_{2n}-a_{2n+4}[/mm] hier habe ich
> die IV eingesetzt...aber bringt mich auch noch nicht zum
> ziel!
Also erstmal müßtest Du jetzt die induktionsbehauptung mal richtig aufschreiben wegen des Durcheinanders bzgl gerade und ungerade, damit Du auch wirklich weißt, was Du zeigen willst.
Dann würde ich auf [mm] a_{2n+4} [/mm] zuerst die Rekursionsvorschrift anwenden und dann weitersehen.
Aber bei Tageslicht betrachtet geht das auch völlig ohne Induktion: rechen doch mal [mm] a_{2n}-a_{2n+2} [/mm] aus.
> und bei deiner letzten aussage steh ich ebenfalls grad
> bissl auf dem schlauch- ich kenne den grenzwert??
Den Grenzwert von [mm] (a_n) [/mm] kennt man. Weil der ja angegeben ist. (Man muß natürlich noch beweisen, daß es wirklich der Grenzwert ist. Aber man muß ihn nicht mehr suchen.
> ist es
> der gleiche wie für die folge [mm]a_n[/mm] (hatte ich schonmal
> gefragt)?
Wenn die Folge [mm] (a_n) [/mm] konvergiert, bleibt den beiden Teilfolgen nichts anderes übrig als gegen den Grenzwert von [mm] (a_n) [/mm] zu konvergieren.
Bloß daß die Folge [mm] (a_n) [/mm] konvergiert, wissen wir zunächst ja nicht.
Wir wissen, wenn Monotonie und Beschränktheit der Teilfolgen gezeigt sind, daß beide Teilfolgen konvergieren, sagen wir die ungerade gegen [mm] g_u [/mm] und die gerade gegen [mm] g_g.
[/mm]
Wir wissen also: die Grenzwerte existieren.
In b) sollst Du zeigen, daß die gleich sind.
Berechne hierzu
[mm] \lim_{n\to \infty}a_{2n+1}= \lim_{n\to \infty}\bruch{a_2n+a_{2n-1}}{2} [/mm]
und zieh deine Schlüsse.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Di 18.11.2008 | | Autor: | jura |
sorry, aber jetzt versteh ich nix mehr--die ungerade folge ist also steigend--wie kommt man darauf?? ich hatte als bsp die startwerte 1,2 genommen--ab dem 5.folgeglied nehmen die werte dann ab für die ungeraden indizes. für gerade steigen sie.
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> sorry, aber jetzt versteh ich nix mehr--die ungerade folge
> ist also steigend--wie kommt man darauf??
Hallo,
ich habe das erstmal gemacht wie Du - einfach ausgerechnet.
> ich hatte als bsp
> die startwerte 1,2 genommen--ab dem 5.folgeglied nehmen die
> werte dann ab für die ungeraden indizes. für gerade steigen
> sie.
Tja, was soll man dazu sagen? Entweder Du hast falsch getippt oder mit zu stark gerundeten Werten gerechnet. Bei mir steigt das brav bei der ungeraden Teilfolge.
(Übrigens widerspricht ja das Verhalten, welches Du beschreibst, der Monotonie, oder?)
Wenn Du nochmal rechnest, nimm doch die Startwerte weiter auseinander, dann sieht man die Effekte besser.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mi 19.11.2008 | | Autor: | jura |
ok, mit anderen startwerten als bsp funktionierts besser!
>
> Bzgl der fehlenden Schranke: es ist ja wie gesagt der
> Grenzwert in der Aufgabe bereits angegeben.
>
> Hast Du schonmal versucht zu zeigen, daß er eine obere
> Schranke der wachsenden Folge ist? (Ich hab's nicht
> gerechnet, ob das einfach ist.)
wie zeige ich denn, dass gilt:
[mm] \bruch{a_{2n-2}+a_{2n-3}}{2}\le \bruch{2a_2 +a_1}{3} [/mm] ???
ich versteh überhaupt nicht, wie ich das umschreiben kann!
>
> Eine weitere obere Schranke dürfte ja auch [mm]a_2[/mm] sein. das
> geht sicher leicht zu zeigen.
für die gerade folge, weil sie monoton fällt und [mm] a_2 [/mm] startwert ist.
>
>
> > im übrigen komm ich mit dem ind.beweis für monotonie auch
> > nicht weiter: für die geraden folgen(gekürzt):
> > IS: [mm]a_{2n+2}-a_{2n+4} \ge a_{2n}-a_{2n+4}[/mm] hier habe
> ich
> > die IV eingesetzt...aber bringt mich auch noch nicht zum
> > ziel!
>
> Also erstmal müßtest Du jetzt die induktionsbehauptung mal
> richtig aufschreiben wegen des Durcheinanders bzgl gerade
> und ungerade, damit Du auch wirklich weißt, was Du zeigen
> willst.
> Dann würde ich auf [mm]a_{2n+4}[/mm] zuerst die
> Rekursionsvorschrift anwenden und dann weitersehen.
>
> Aber bei Tageslicht betrachtet geht das auch völlig ohne
> Induktion: rechen doch mal [mm]a_{2n}-a_{2n+2}[/mm] aus.
was soll dabei rauskommen? [mm] a_2??
[/mm]
>
>
> Bloß daß die Folge [mm](a_n)[/mm] konvergiert, wissen wir zunächst
> ja nicht.
>
> Wir wissen, wenn Monotonie und Beschränktheit der
> Teilfolgen gezeigt sind, daß beide Teilfolgen konvergieren,
> sagen wir die ungerade gegen [mm]g_u[/mm] und die gerade gegen [mm]g_g.[/mm]
> Wir wissen also: die Grenzwerte existieren.
>
> In b) sollst Du zeigen, daß die gleich sind.
>
> Berechne hierzu
> [mm]\lim_{n\to \infty}a_{2n+1}= \lim_{n\to \infty}\bruch{a_2n+a_{2n-1}}{2}[/mm]
wie kommt man nun darauf und wie rechnet man damit?
>
>
> und zieh deine Schlüsse.
>
> Gruß v. Angela
>
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> ok, mit anderen startwerten als bsp funktionierts besser!
> >
> > Bzgl der fehlenden Schranke: es ist ja wie gesagt der
> > Grenzwert in der Aufgabe bereits angegeben.
> >
> > Hast Du schonmal versucht zu zeigen, daß er eine obere
> > Schranke der wachsenden Folge ist? (Ich hab's nicht
> > gerechnet, ob das einfach ist.)
>
> wie zeige ich denn, dass gilt:
>
> [mm]\bruch{a_{2n-2}+a_{2n-3}}{2}\le \bruch{2a_2 +a_1}{3}[/mm] ???
> ich versteh überhaupt nicht, wie ich das umschreiben
> kann!
Hallo,
vielleicht geht's ja nicht. War ja lediglich eine Idee, was man tun könnte.
> >
> > Eine weitere obere Schranke dürfte ja auch [mm]a_2[/mm] sein. das
> > geht sicher leicht zu zeigen.
>
> für die gerade folge, weil sie monoton fällt und [mm]a_2[/mm]
> startwert ist.
Wir suchen aber eine obere Schranke für die wachsende Folge.
Hast Du eine Idee, wie Du zeigen kannst, daß [mm] a_2 [/mm] diese nach oben beschränkt?
Zeige hierfür erstmal, daß [mm] a_{2n-1}
> >
> >
> > > im übrigen komm ich mit dem ind.beweis für monotonie auch
> > > nicht weiter: für die geraden folgen(gekürzt):
> > > IS: [mm]a_{2n+2}-a_{2n+4} \ge a_{2n}-a_{2n+4}[/mm] hier habe
> > ich
> > > die IV eingesetzt...aber bringt mich auch noch nicht zum
> > > ziel!
> >
> > Also erstmal müßtest Du jetzt die induktionsbehauptung mal
> > richtig aufschreiben wegen des Durcheinanders bzgl gerade
> > und ungerade, damit Du auch wirklich weißt, was Du zeigen
> > willst.
> > Dann würde ich auf [mm]a_{2n+4}[/mm] zuerst die
> > Rekursionsvorschrift anwenden und dann weitersehen.
> >
> > Aber bei Tageslicht betrachtet geht das auch völlig ohne
> > Induktion: rechen doch mal [mm]a_{2n}-a_{2n+2}[/mm] aus.
>
> was soll dabei rauskommen? [mm]a_2??[/mm]
Vielleicht rechnest Du's einfach mal aus...
Setz' für [mm] a_{2n+2} [/mm] die Rekursion ein.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:23 Do 20.11.2008 | | Autor: | jura |
> Vielleicht rechnest Du's einfach mal aus...
> Setz' für [mm]a_{2n+2}[/mm] die Rekursion ein.
gut, da steht dann [mm] \bruch{a_{2n}-a_{2n+1}}{2}. [/mm] und was sagt mir das?
> Gruß v. Angela
>
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Zunächst führe ich eine neue Folge [mm] (f_{n})_{n \in \IN, n \ge 2} [/mm] ein.
Seien [mm] f_{2} [/mm] = 0, [mm] f_{3} [/mm] = 1, [mm] f_{n+2} [/mm] = [mm] f_{n+1} [/mm] + [mm] 2*f_{n} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2.
Ich behaupte, dass:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{f_{n}*a_{1}+(2^{n-2}-f_{n})*a_{2}}{2^{n-2}} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2
Diese Formel solltest du erst mal mittels vollständiger Induktion beweisen!
Dann gilt:
[mm] a_{2n+2} [/mm] - [mm] a_{2n} [/mm] = [mm] \bruch{(4f_{2n}-f_{2n+2})*(a_{2}-a_{1})}{2^{2n}}
[/mm]
Hier kommt die Bedingung [mm] a_{2} [/mm] > [mm] a_{1} [/mm] ins Spiel.
Wenn du zeigen kannst, dass [mm] 4f_{2n}-f_{2n+2} [/mm] < 0, so folgt daraus unmittelbar, dass die Folge [mm] a_{2n} [/mm] monoton fallend ist.
Ich behaupte nun noch mehr:
[mm] f_{2n} [/mm] = [mm] \bruch{4^{n-1}-1}{3}
[/mm]
[mm] f_{2n+1} [/mm] = [mm] \bruch{2*4^{n-1}+1}{3}
[/mm]
Mit diesen Ergebnissen ist dann auch der Grenzwert leicht zu bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 So 23.11.2008 | | Autor: | mathe_FS |
Ihr habt ja jetzt sehr viel geschrieben und vieles erscheint auch logisch.
Nur fehlt so ein wenig eine Struktur.
Ich muss diese Aufgabe auch lösen und bei a) is ja noch alles logisch, aber was soll nun bei b) und c) so richtig gemacht werden?
Bei b) ist klar soll ich zeigen, dass die geraden und ungeraden Folgen -> somit also alle Folgen gegen den gleichen Grenzwert laufen, wie zeigt man das?
c) ist mir noch total schleierhaft. Hab die Reihen mal aufgestellt und könnte das damit zeigen, aber da steht ja am Ende wieder dahinter "Nicht am Beispiel!" -> also wie mach ich das mathematisch?
Bitte helft mir.
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> Ihr habt ja jetzt sehr viel geschrieben und vieles
> erscheint auch logisch.
> Nur fehlt so ein wenig eine Struktur.
Hallo,
ja,k ich hab' da vor lauter "gerade" und "ungerade" und Hin und Her auch irgendwann den Überblick verloren...
> Bei b) ist klar soll ich zeigen, dass die geraden und
> ungeraden Folgen -> somit also alle Folgen gegen den
> gleichen Grenzwert laufen, wie zeigt man das?
Aus a) weiß man inzwischen, daß sowohl ungerade folge als auch gerade Folge konvergieren. Sagen wir, die eine gegen [mm] g_1 [/mm] und die andere gegen [mm] g_2.
[/mm]
Aus der Rekursionsvorschrift $ [mm] a_{n+1}=\bruch{a_n+a_{n-1}}{2} [/mm] $ bekommt man dann (indem man rechts und links den Grenzwert gegen [mm] \infty [/mm] berechnet) $ [mm] g_{1}=\bruch{g_2+g_1}{2} [/mm] $ .
> c) ist mir noch total schleierhaft. Hab die Reihen mal
> aufgestellt und könnte das damit zeigen, aber da steht ja
> am Ende wieder dahinter "Nicht am Beispiel!" -> also wie
> mach ich das mathematisch?
Zwei nichtdurchgerechnete Ideen:
1. Mach Dir otto.eulers vorhergehendes Post zunutze.
2. Zeige, daß der angegebene Wert für alle n zwischen [mm] a_{2n+1} [/mm] und [mm] a_{2n} [/mm] liegt, und verwende dann, daß beide Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren.
Gruß v. Angela
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