rekursive Folge Grenzwert ... < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Do 10.01.2008 | | Autor: | lilsab |
| Aufgabe | Aufgabe
Seien a0 ∈ R und f : R → R eine Funktion. Ferner sei (an )n∈R die durch an+1 := f (an ) fur n ∈N rekursiv definierte Folge. Einen Punkt a ∈ R mit f (a) = a nennen wir einen Fixpunkt von f .
i) Zeigen Sie, dass man fur jeden Fixpunkt a in R von f den Startwert a0 so wahlen kann, dass lim n →∞ an = a
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Hey, die Aufgabe wurde hier zwar schonmal reingestellt, aber da gabs nicht wirklich hilfe... kann mir jetzt jemand helfen, wie ich da rangehe?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabe
> Seien a0 ∈ R und f : R → R eine Funktion.
> Ferner sei (an )n∈R die durch an+1 := f (an ) fur n
> ∈N rekursiv definierte Folge. Einen Punkt a
> ∈ R mit f (a) = a nennen wir einen Fixpunkt von f .
>
> i) Zeigen Sie, dass man fur jeden Fixpunkt a in R von f den
> Startwert a0 so wahlen kann, dass lim n →∞ an =
> a
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Sei a ein Fixpunkt von f.
Wähle als Startwert [mm] a_0:=a, [/mm] und zeige, daß die Folge [mm] (a_n) [/mm] gegen a konvergiert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Do 10.01.2008 | | Autor: | lilsab |
hm..
aber muss das a0 nicht irgendwie allgemeiner bleiben?
und konvergenz, dann einfach mit epsilon-kriterium?
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> hm..
> aber muss das a0 nicht irgendwie allgemeiner bleiben?
>
> und konvergenz, dann einfach mit epsilon-kriterium?
Hallo,
ist Dir die Aufgabe zu einfach?
Immerhin ist doch a irgendein beliebiger Fixpunkt der Funktion.
> epsilon-kriterium
ist ein bißchen wie mit Kanonen auf Spatzen zu schießen.
Ich würde jetzt einfach mal zeigen, daß die Folge konstant ist.
Wenn Du dann unbedingt noch mit [mm] \varepsilon [/mm] was machen willst, kannst Du's ja tun.
Ich habe den Eindruck, daß Du diese Lösung mit Startwert [mm] x_0:=a [/mm] irgendwie billig findest.
Aber guck mal diese Funktion an:
[mm] g(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\not=5 \mbox{ } \\ 5, & \mbox{für } x=5 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Offensichtlich ist x=5 Fixpunkt.
Wenn Du die Folge so definierst wie in Deiner Aufgabe, ist 5 der einzige Startwert, für den die Folge gegen 5 konvergiert. Für andere klappt's gar nicht! Und diesen einen untervielen haben wir gefunden!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Do 10.01.2008 | | Autor: | lilsab |
... ne nicht zu leicht... eher habe ich ein brett vorm kopf...
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> ... ne nicht zu leicht... eher habe ich ein brett vorm
> kopf...
Hallo,
da Du dies als Frage einstellst, gehe ich davon aus, daß Du eine Antwort haben möchtest - nur:
ich weiß gar nicht, wie Deine Frage jetzt lautet.
Hast Du mal die ersten 100 Gleider der Folge [mm] (a_n) [/mm] ausgerechnet? Ist das das Problem?
Gruß v. Angela
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