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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Sa 18.05.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | [mm] {a_n}_{n\in \IN} [/mm] mit [mm] a_1:=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] a_{n+1}:=\bruch{2a_n}{1+a_n}
[/mm]
Beweise Beschränktheit, Monotonie und bestimme den Grenzwert. |
Ich habe noch große Probleme mit rekursiven Folgen, aber ich zeige einfac mal meine Beweisidee:
1. Beschränktheit
Behauptung: [mm] 0
IA: (n=1) [mm] 0
IS: Angenommen [mm] 0
Dann [mm] a_{n+1}=\bruch{2a_n}{1+a_n}\ge a_n\ge [/mm] 0
[mm] 1
[mm] 2\ge a_n+1> [/mm] 1
[mm] \bruch{0<2a_n\le 1}{2\ge a_n+1>1} \to [/mm] 0= [mm] \bruch{0}{2}\le \bruch{2a_n}{a_n+1}= a_{n+1}\le \bruch{1}{2}\le [/mm] 1
2. Zeigen, dass [mm] a_n [/mm] monoton wachsend ist
[mm] a_{n+1}-a_n=\bruch{2a_n}{a_n+1}-a_n=\bruch{2a_n-a_n(a_n+1)}{a_n+1}) =\bruch{a_n-a_n^2}{a_n+1}\ge [/mm] 0
3. Grenzwert
[mm] a_n\to [/mm] a
[mm] a=\bruch{2a}{1+a} \gdwa(1+a)=2a \gdw a+a^2=2a \gdw a^2-a=0 \gdw [/mm] a(a-1)=0
a=0 und a=1
Aber was ist den jetzt mein Grenzwert? Wegen er Einschränkung müsste das a=1 sein oder?
Kann ich den Beweis so führen oder wie macht man das richtig?
LG
heinze
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Hallo,
> [mm]{a_n}_{n\in \IN}[/mm] mit [mm]a_1:=\bruch{1}{2}[/mm] und
> [mm]a_{n+1}:=\bruch{2a_n}{1+a_n}[/mm]
>
> Beweise Beschränktheit, Monotonie und bestimme den
> Grenzwert.
> Ich habe noch große Probleme mit rekursiven Folgen, aber
> ich zeige einfac mal meine Beweisidee:
>
> 1. Beschränktheit
>
> Behauptung: [mm]0
>
> IA: (n=1) [mm]0
>
> IS: Angenommen [mm]0
>
> Dann [mm]a_{n+1}=\bruch{2a_n}{1+a_n}\ge a_n\ge[/mm] 0
Wie kommst du darauf, du setzt hier eben mal Monotonie voraus, die noch gar nicht gezeigt ist?
>
> [mm]1
> [mm]2\ge a_n+1>[/mm] 1
Zu was soll das gut sein?
Die Beschränktheit nach unten ist trivial, die muss man in die vollst. Induktion hier nicht mit einbeziehen. Somit bleibt einzig als Induktionschluss die Ungleichung
[mm] \frac{2a_n}{1+a_n}\le 1[/mm]
zu zeigen, wobei [mm] a_n\le [/mm] 1 vorausgesetzt wird.
> 2. Zeigen, dass [mm]a_n[/mm] monoton wachsend ist
>
> [mm]a_{n+1}-a_n=\bruch{2a_n}{a_n+1}-a_n=\bruch{2a_n-a_n(a_n+1)}{a_n+1}) =\bruch{a_n-a_n^2}{a_n+1}\ge[/mm]
> 0
Ja, das kann man so machen (wenn es auch etwas umständlich ist). Auf jeden Fall musst du aber begründen, weshalb der Zähler positiv ist!
>
> 3. Grenzwert
>
> [mm]a_n\to[/mm] a
>
> [mm]a=\bruch{2a}{1+a} \gdwa(1+a)=2a \gdw a+a^2=2a \gdw a^2-a=0 \gdw[/mm]
> a(a-1)=0
>
> a=0 und a=1
>
> Aber was ist den jetzt mein Grenzwert? Wegen er
> Einschränkung müsste das a=1 sein oder?
Na welcher wohl, wenn [mm] a_1=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] a_n [/mm] monoton wachsend? 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 So 19.05.2013 | | Autor: | heinze |
Danke für die Hinweise.
Ich würde gas ganze gerne vernünftig zeigen, vielleicht kannst du mir dabei helfen???
Ich habe noch nicht verstanden wie man Beschränktheit zeigt!
Behauptung und Induktionsannahme sind ja klar. Aber wie mache ich den Induktionsschluss?
IS: Angenommen [mm] 0
Dann: [mm] 0<\bruch{2a_n}{1+a_n}\le [/mm] 1
Aber wie zeige ich das? Und warum muss ich nicht zeigen, dass [mm] a_{n+1}> [/mm] 0 ist?
Zur Monotonie:
Wie soll ich begründen, dass der Zähler positiv ist? Da habe ich keine Idee für.
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 So 19.05.2013 | | Autor: | hippias |
> Danke für die Hinweise.
> Ich würde gas ganze gerne vernünftig zeigen, vielleicht
> kannst du mir dabei helfen???
>
> Ich habe noch nicht verstanden wie man Beschränktheit
> zeigt!
>
> Behauptung und Induktionsannahme sind ja klar. Aber wie
> mache ich den Induktionsschluss?
>
> IS: Angenommen [mm]0
>
> Dann: [mm]0<\bruch{2a_n}{1+a_n}\le[/mm] 1
>
> Aber wie zeige ich das?
Es gibt, wie meist, mehrere Moeglichkeiten: Du konntest die Funktion f(x)= [mm] \frac{2x}{1+x}$ [/mm] in dem Intervall $[0,1]$ auf globale Extremwerte untersuchen - das ist vermutlich hier nicht so gern gesehen.
Ferner gehen auch oft Äquivalenzumformungen, wobei Du "nach [mm] $a_{n}$ [/mm] umstellst": [mm] $(a_{n+1}=) \frac{2a_{n}}{1+a_{n}}\leq 1\iff \ldots \iff a_{n}\leq [/mm] 1$. Da die letzte Gleichung nach I.V. gilt, gilt auch die erste Ungleichung.
Schliesslich koennte man sich auch etwas a la [mm] $\frac{2a_{n}}{1+a_{n}}= \frac{a_{n}+a_{n}}{1+a_{n}}\leq \ldots \leq [/mm] 1$ ueberlegen.
> Und warum muss ich nicht zeigen,
> dass [mm]a_{n+1}>[/mm] 0 ist?
Zeige das ruhig; es ist aber ganz einfach.
>
>
> Zur Monotonie:
> Wie soll ich begründen, dass der Zähler positiv ist? Da
> habe ich keine Idee für.
Wende [mm] $0\leq a_{n}\leq [/mm] 1$ an.
>
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 So 19.05.2013 | | Autor: | heinze |
okay,also wenn ich zeige:
[mm] \bruch{2a_n}{1+a_n}\le [/mm] 1 [mm] \gdw 2a_n\le 1+a_n \gdw a_n\le [/mm] 1
[mm] \bruch{2a_n}{1+a_n}> [/mm] 0 [mm] \gdw 2a_n>0 \gdw a_n>0
[/mm]
Da diese für [mm] a_n [/mm] gilt nach Vorausssetzung gilt dies auch für [mm] a_{n+1}
[/mm]
Das reicht dann schon um Beschränktheit zu zeigen???
Das mit der Monotonie ist mir noch nicht klar. [mm] a_n [/mm] liegt zwischen 0 und 1. Aber dann kann ja im Zähler auch theoretisch wegen der Subtraktion 0 stehen!
LG
heinze
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Hallo,
> okay,also wenn ich zeige:
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> [mm]\bruch{2a_n}{1+a_n}\le[/mm] 1 [mm]\gdw 2a_n\le 1+a_n \gdw a_n\le[/mm] 1
>
> [mm]\bruch{2a_n}{1+a_n}>[/mm] 0 [mm]\gdw 2a_n>0 \gdw a_n>0[/mm]
>
> Da diese für [mm]a_n[/mm] gilt nach Vorausssetzung gilt dies auch
> für [mm]a_{n+1}[/mm]
>
>
> Das reicht dann schon um Beschränktheit zu zeigen???
Ja. Du darfst nicht vergessen, dass dies Teil eines Induktionsbeweises ist. Der Induktionsanfang ist ja längst gezeigt, und obiges ist der Induktionsschluss.
>
> Das mit der Monotonie ist mir noch nicht klar. [mm]a_n[/mm] liegt
> zwischen 0 und 1. Aber dann kann ja im Zähler auch
> theoretisch wegen der Subtraktion 0 stehen!
Das würde ja bedeuten, dass [mm] a_n=0 [/mm] oder [mm] a_n=1 [/mm] gilt. Ersteres kann nicht sein (wehalb?). Letzteres kann hier zwar auch nicht sein, wäre aber kein Beinbruch. Es ist
[mm] \frac{2}{1+1}=1[/mm]
Bedeutet: wenn es ein n gibt, für welches [mm] a_n-a_n^2=0 [/mm] ist, dann wären ab diesem n alle Folgenglieder gleich 1, und das widerspricht nicht der Monotonie.
Es ist aber Haarspalterei. Gezeigt ist bereits
[mm] 0
und damit hat man sofort
[mm] a_n-a_n^2\ge{0}
[/mm]
und daraus folgt die Monotonie.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 So 19.05.2013 | | Autor: | heinze |
Danke! ich bin mir einfach immer noch unsicher über den Umfang von dem. was zu zeigen ist!
Jetzt ist alles klar, danke!
LG
heinze
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