rekursiv definierte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:23 Di 27.05.2008 | | Autor: | domenigge135 |
Hallo. Ich habe mal eine wichtige Frage. Die Aufgabe lautet zunächst zu beweisen, dass für die Folge [mm] x_1=1, x_n_+_1=\bruch{x_n}{x_n+2}, [/mm] alle weiteren Folgeglieder positiv sind. Ich habe hierfür nun [mm] x_2, x_3, x_4 [/mm] usw. berechnet. Allerdings denke ich, dass das nicht reicht oder. Mir wurde der Tipp gegeben, dass nun mit vollständiger Induktion zu beweisen. Mit der vollständigen Induktion als solches tue ich mich ja nicht schwer. Allerdings weiß ich jetzt nicht, wie ich das auf diese Folge anwenden soll. Ich wäre für jede Hilfe dankbar.
Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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Hallo
> Hallo. Ich habe mal eine wichtige Frage. Die Aufgabe lautet
> zunächst zu beweisen, dass die Folge [mm]x_1=1[/mm]
Ja, und weiter? 
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Di 27.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Sieh mal hier bzw. hier ... die Folge / Aufgabe sollte Dir doch jeweils bekannt vorkommen.
Gruß
Loddar
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Okay wusste nicht, dass die Aufgabe schon öfters gestellt wurde. Kann allerdings mit den Verweisen nicht wirklich sehr viel anfangen. Aber bei den Verweisen wurde ebenfalls von Induktion geschrieben. Allerdings fehlt mir jeder Ansatz zum Induktionsanfang. Mir fehlt wirklich jeder Ansatz zu dieser Aufgabe.
Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Di 27.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Der Induktionsanfang ist doch das Einfachste an der Sache.
Du musst zeigen, dass gilt: [mm] $x_1 [/mm] \ > \ 0$ . Und da [mm] $x_1 [/mm] \ := \ 1$ , ...
Für den Induktionsschritt solltest Du Dir mal überlegen, was passiert, wenn man zwei positive Zahlen dividiert. Ist das Ergebnis positiv oder negativ?
Gruß
Loddar
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Hab ich ja bereits in meinem ersten Post geschrieben, dass das halt nie negativ wird, da ich ja immer eine positive Zahl erhalte. Brauch ich mir also nicht überlegen, habe ich schon im ersten Post gemacht. 
Wenn ich meinen Anfang für [mm] x_1=1 [/mm] mache, kann ich meinen Induktionsschritt dann nicht für [mm] x_n_+_1=\bruch{x_n}{x_n+2} [/mm] machen???
Damit habe ich ja dann im Prinzip bewiesen, dass dies auch für [mm] x_2 [/mm] gilt. Also das dieses Folgeglied positiv ist. Aber wie sieht es mit den weiteren Folgegliedern aus???
Als nächstes muss ich überprüfen, ob diese Folge streng monoton ist. Wie gehe ich hierbei am besten ran???
MFG Domenigge135
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Hallo domenigge,
es reicht natürlich nicht, die ersten paar Folgenglieder zu berechnen.
Dass alle [mm] $a_i>0$ [/mm] sind, musst du schon streng mit vollst. Induktion beweisen
IA ist klar
IS: [mm] n\to [/mm] n+1
Ind.vor: Sei [mm] n\in\IN [/mm] beliebig und [mm] a_n>0
[/mm]
zu zeigen ist, dass dann, also unter dieser Ind.vor auch [mm] a_{n+1}>0 [/mm] ist
Dazu benutze die Def.: [mm] $a_{n+1}=\frac{\overbrace{a_n}^{>0 \text{nach Ind.vor}}}{\underbrace{a_n}_{>0 \text{nach Ind.vor}}+2}$, [/mm] also ..
Für den Monotonienachweis rechne ein paar Folgenglieder aus, kann hast du ne Idee, ob sie (streng) monoton fallend oder wachsend ist
Das musst du dann auch beweisen (hier mon. fallend)
Zeige also [mm] $a_{n+1}-a_n<0$ [/mm] bzw. gleichwertig [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}<1$
[/mm]
Dabei benutze wieder die Def. der Folge und, dass alle [mm] $a_i>0$ [/mm] sind, wie du ja vorher gezeigt hast (oder haben solltest )
LG
schachuzipus
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Okay wir haben die Gleichung [mm] x_n_+_1=\bruch{x_n}{x_n+2} [/mm] und wir haben [mm] x_1=1
[/mm]
Ich soll nun zunächst zeigen, dass alle witeren Folgeglieder positiv sind.
I-Anfang: es muss gelten, dass alle weiteren Folgeglieder positiv sind. Da wir [mm] x_1=1 [/mm] gegeben haben, machen wir den I-Anfang für [mm] n=1\Rightarrow x_1_+_1=\bruch{x_1}{x_1+2}\Rightarrow x_2=\bruch{1}{3} [/mm] Demnach ist das Folgeglied [mm] x_2 [/mm] postiv und somit ist die Gleichung erfüllt für n=1
I-Vorraussetzung: es muss nun noch gelten, dass die Gleichung [mm] x_n_+_1=\bruch{x_n}{x_n+2} [/mm] auch für alle weiteren Folgeglieder [mm] n\ge1 [/mm] positiv ist.
I-Behauptung: Die Gleichung [mm] x_n_+_1=\bruch{x_n}{x_n+2} [/mm] ist auch erfüllt für [mm] n=n+1\Rightarrow x_n_+_2=\bruch{x_n_+_1}{x_n_+_1+2}
[/mm]
Soweit so gut. Könnte ich nun meinen Beweis antreten oder muss noch irgendwo was verbessert werden???
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Do 29.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Es geht hier viel einfacher ...
[mm] $$x_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\overbrace{x_n}^{> \ 0 \text{ gemäß I.V.}}}{\underbrace{x_n}_{> \ 0 \text{ gemäß I.V.}}+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\overbrace{x_n}^{> \ 0}}{\underbrace{x_n+2}_{> \ 2}} [/mm] \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ [mm] x_{n+1} [/mm] \ > \ 0$$
Gruß
Loddar
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