rekursiv def. Folge Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Fr 07.12.2012 | | Autor: | tmili |
| Aufgabe | | Es sei [mm] x_{0} \in \IR, 0
Man bestimme, falls existens, den Grenzwert der Folge. |
Hallo,
ich habe zu dieser Aufgabe einen relativ komplexen Ansatz aber komme gegen Ende nicht richtig weiter. Würde mich deshalb über Hilfestellungen freuen!
Also ich habe erst mal gedacht dass für alle [mm] \varepsilon>0 \exists n_{0} \in \IN [/mm] mit [mm] n\ge n_{0}: |x_{n}-x_{n}(2-x_{n})| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Wenn ich jetzt davon ausgehe dass die Folge konvergent ist, kann ich ja einfach mal x als Grenzwert einsetzen und erhalte:
|x-x(2-x)| was ja gleich 0 sein müsste da für große n [mm] x_{n}\approx x_{n+1}
[/mm]
Nun sieht man dass die Gleichung |x-x(2-x)|=0 für 0 und für 1 gelöst wird. Das heißt wenn es ein Grenzwert gibt wäre er entweder 0 oder 1.
(stimmt das denn bis hier?)
Nun weiß ich nicht wie ich zeige, dass alle Folgeglieder kleiner 1 sind, aber wenn ich das hätte (hier bräuchte ich eure Hilfe) könnte ich zeigen dass [mm] x_{0} [/mm] kleiner [mm] x_{1} [/mm] und somit wenn Folge nach oben durch 1 beschränkt ist jeder Startwert (also auch [mm] x_{1} [/mm] gewählt werden kann und das dann durch den möglichen Beweis kleiner [mm] x_{2} [/mm] wäre. Wenn ich dann eine Monotonie habe, dann wüsste ich doch bei monoton steigend dass 1 mein Grenzwert wäre, oder?
Monotonie: [mm] x_{1}=x_{0}(2-x_{0}) [/mm] und da Klammer zwischen 1 und 2 ist, wäre [mm] x_{1}>x_{0}.
[/mm]
Hoffe ich habe einigermaßen deutlich erklärt!
Vielen Dank im Voraus!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Fr 07.12.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
zeige [mm] x_n [/mm] ist monoton wachsend und beschränkt. Dann ist die Konvergenz bewiesen. Danach setzte [mm] x_{n+1} [/mm] und [mm] x_n [/mm] durch den Grenzwert x und löse die Gleichung x=x(2-x)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:07 Sa 08.12.2012 | | Autor: | tmili |
Hallo vielen Dank für deine Antwort, jedoch fällt Sie für mich ein bisschen kurz aus besonders da ich dachte ich hätte die Monotonie schon bewiesen und du nicht darauf eingehst ob das stimmt oder nicht..da bin ich mir jetzt doch ein bisschen unsicher geworden..
"Monotonie: $ [mm] x_{1}=x_{0}(2-x_{0}) [/mm] $ und da Klammer zwischen 1 und 2 ist, wäre $ [mm] x_{1}>x_{0}. [/mm] $"
Ist da etwas falsch oder zu wenig? Ich habe ja in meiner Überlegung zur Aufgabe schon erklärt, dass wenn ich die Beschränktheit noch hätte ich dann von diesem Beweis auf die vollständige Monotonie dieser Folge schließen kann.
Und jetzt wie du auch sagtest fehlt mir eben die Beschränktheit..ich kriege es einfach nicht hin zu zeigen, dass alle Folgeglieder wirklich kleiner 1 sind :(
Mein Versuch durch Induktion:
IA: n=0 durch Voraussetzung erfüllt, da [mm] x_{0} [/mm] zwischen 0 und 1 liegen muss
IV: [mm] 0
IS: (hier dann das Problem)
[mm] x_{n+1}=x_{n}*(2-x_{n})
[/mm]
Hier weiß ich nun durch IV, dass [mm] x_{n} [/mm] zwischen Null und Eins liegen muss und die Klammer jedoch zwischen Null und Zwei liegt. Daraus kann ich jetzt leider nicht das schließen was ich gerne hätte nämlich dass [mm] x_{n+1} [/mm] eben auch aus dem Intervall (0,1) kommt.
Hast du mir hier ein Tipp bzw. kannst du mich auf meinen Fehler hinweisen?
Liebe Grüße
Tamara
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo vielen Dank für deine Antwort, jedoch fällt Sie
> für mich ein bisschen kurz aus besonders da ich dachte ich
> hätte die Monotonie schon bewiesen und du nicht darauf
> eingehst ob das stimmt oder nicht..da bin ich mir jetzt
> doch ein bisschen unsicher geworden..
>
> "Monotonie: [mm]x_{1}=x_{0}(2-x_{0})[/mm] und da Klammer zwischen 1
> und 2 ist, wäre [mm]x_{1}>x_{0}. [/mm]"
>
> Ist da etwas falsch oder zu wenig? Ich habe ja in meiner
> Überlegung zur Aufgabe schon erklärt, dass wenn ich die
> Beschränktheit noch hätte ich dann von diesem Beweis auf
> die vollständige Monotonie dieser Folge schließen kann.
Hallo Tamara,
ja, das kannst Du! Um [mm] $x_n [/mm] < 1$ für alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] zu zeigen, liegt es nahe, einen Induktionsbeweis nach $n$ anzugehen, zumal die Folge rekursiv definiert ist.
Versuch' es mal und melde Dich, wenn Du auf Schwierigkeiten stößt.
Grüße,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Sa 08.12.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
hier ein Tipp zur Beschränktheit:
weil [mm] -(x-1)^2\le [/mm] 0 gilt, gilt auch [mm] -(x-1)^2+1\le [/mm] 1
Ausmultiplizieren und Ausklammern ergibt das Ergebnis.
Jetzt noch zu Monotonie:
Wenn [mm] 00
[/mm]
[mm] x_n [/mm] auf beiden seiten dazu addieren, dann folgt [mm] x_{n+1}>x_n
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Sa 08.12.2012 | | Autor: | tmili |
Hallo ullim,
vielen Dank für deine Tipps, damit haben die Monotonie und Beschränktheit super geklappt!! :)
Kann ich denn meinen Anfang vom Beweis, also das mit dem Grenzwert so stehen lassen und dann durch das "streng monoton wachsend" die Null als Grenzwert ausschließen und sagen, dass die Folge gegen 1 konvergiert?
Vielen Dank im Voraus!
Tamara
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Sa 08.12.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
da der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] existieret, gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}x_x=x
[/mm]
Daraus folgt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}=x=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(x_n*(2-x_n)\right)=x*(2-x)
[/mm]
Also muss man die Gleichung x=x*(2-x) lösen. Da [mm] x_0 [/mm] > 0 und die Folge monoton wächst, fällt x=0 als Lösung aus und es verbleibt x=1
Also im Prinzip so wie Du es geschrieben hast.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Sa 08.12.2012 | | Autor: | tmili |
Vielen Dank fürs ausführliche Aufschreiben, so habe ich es angedacht aber mit deinen Anmerkungen ist es sehr schlüssig!!
Wünsche dir noch ein schöens Wochenende :)
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> Es sei [mm]x_{0} \in \IR, 0
> [mm](x_{n})_{n \in \IN}[/mm] durch die Rekursionsformel [mm]x_{n+1}:= x_{n}(2-x_{n}).[/mm]
> Man bestimme, falls existens, den Grenzwert der Folge.
> Hallo,
> ich habe zu dieser Aufgabe einen relativ komplexen Ansatz
> aber komme gegen Ende nicht richtig weiter. Würde mich
> deshalb über Hilfestellungen freuen!
> Also ich habe erst mal gedacht dass für alle
> [mm]\varepsilon>0 \exists n_{0} \in \IN[/mm] mit [mm]n\ge n_{0}: |x_{n}-x_{n}(2-x_{n})|[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
> Wenn ich jetzt davon ausgehe dass die Folge konvergent
> ist, kann ich ja einfach mal x als Grenzwert einsetzen und
> erhalte:
> |x-x(2-x)| was ja gleich 0 sein müsste da für große n
> [mm]x_{n}\approx x_{n+1}[/mm]
> Nun sieht man dass die Gleichung
> |x-x(2-x)|=0 für 0 und für 1 gelöst wird. Das heißt
> wenn es ein Grenzwert gibt wäre er entweder 0 oder 1.
> (stimmt das denn bis hier?)
> Nun weiß ich nicht wie ich zeige, dass alle Folgeglieder
> kleiner 1 sind, aber wenn ich das hätte (hier bräuchte
> ich eure Hilfe) könnte ich zeigen dass [mm]x_{0}[/mm] kleiner [mm]x_{1}[/mm]
> und somit wenn Folge nach oben durch 1 beschränkt ist
> jeder Startwert (also auch [mm]x_{1}[/mm] gewählt werden kann und
> das dann durch den möglichen Beweis kleiner [mm]x_{2}[/mm] wäre.
> Wenn ich dann eine Monotonie habe, dann wüsste ich doch
> bei monoton steigend dass 1 mein Grenzwert wäre, oder?
> Monotonie: [mm]x_{1}=x_{0}(2-x_{0})[/mm] und da Klammer zwischen 1
> und 2 ist, wäre [mm]x_{1}>x_{0}.[/mm]
> Hoffe ich habe einigermaßen deutlich erklärt!
> Vielen Dank im Voraus!!
Guten Tag Tamara,
Nach meiner bescheidenen Ansicht sind leider deine Ausführungen
nur recht mäßig deutlich. Zum Teil liegt das daran, dass du
halbe und ganze Sätze oft einfach so ohne Punkt und Komma
aneinanderreihst. Das macht es eher mühsam, deinen Gedanken
zu folgen.
Ein anderes Beispiel:
Beim Text:
Monotonie: [mm]x_{1}=x\red{_{0}(2}-x_{0})[/mm] und da Klammer zwischen 1
und 2 ist, wäre [mm]x_{1}>x_{0}.[/mm]
habe ich mich z.B. zwischendurch mal fragen müssen:
"Klammer zwischen 1 und 2 - hä ?? - ich sehe da
beispielsweise eine Klammer zwischen 0 und 2 ..."
Was ich damit sagen will: Klare Sprache spielt in mathe-
matischen Erörterungen eine sehr wichtige Rolle !
LG
Al-Chw.
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