rekursionsformel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:53 Di 16.12.2008 | | Autor: | apfelstrudl |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
hallo,
es soll die folgende rekursionsformel bewiesen werden:
[mm] J_{m+1}(s)=\bruch{2m}{s}J_{m}(s)-J_{m-1}(s)
[/mm]
wobei [mm] J_{m}(s)=(\bruch{s}{2})^m \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n!(n+m)!} (\bruch{s}{2})^{2n}
[/mm]
ich habe versucht die einzelnen komponeten der rekursionformel berechnet einzusetzten sodass man letztlich auf [mm] J_{m+1}(s) [/mm] kommt, aber leider stimmt das ergebnis nich mit der direkten berechnung von [mm] J_{m+1}(s) [/mm] überein. hat jemand vllt eine idee wie man die behauptung am leichtesten und schnellsten zeigen könnte?
vielen dank schonmal
gruß
apfelstrudl
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Hallo apfelstrudl!
Auch ich würde hier einfach in die Rekursionsvorschrift einsetzen und zusammenfassen.
Dann poste doch mal Deine Rechenschritte ...
Gruß vom
Roadrunner
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ok, also:
[mm] J_{m+1}(s)=(\bruch{s}{2})^m (\bruch{s}{2}) \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n!(n+m+1)(m+n)!} (\bruch{s}{2})^{2n} [/mm]
(das müsste also rauskommen wemm man [mm] J_{m-1}(s) [/mm] und [mm] J_{m}(s) [/mm] einsetzt)
und:
[mm] J_{m-1}(s)=(\bruch{s}{2})^m (\bruch{2}{s}) \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}(n+m)}{n!(m+n)!} (\bruch{s}{2})^{2n} [/mm]
daraus folgt dann:
[mm] J_{m+1}(s)=(\bruch{s}{2})^m \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n!(n+m)!} (\bruch{s}{2})^{2n} [\bruch{2m}{2}-\bruch{2}{s}(n+m)]=..=-m* J_{m}(s)
[/mm]
und das ist ja anscheinend falsch...
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hallo,
hat vllt irgendjemand ne idee, was da falsch sein könnte?
danke schonmal
gruß
apfelstrudl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Di 16.12.2008 | | Autor: | Blech |
> ok, also:
>
> [mm]J_{m+1}(s)=(\bruch{s}{2})^m (\bruch{s}{2}) \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n!(n+m+1)(m+n)!} (\bruch{s}{2})^{2n}[/mm]
>
> (das müsste also rauskommen wemm man [mm]J_{m-1}(s)[/mm] und
> [mm]J_{m}(s)[/mm] einsetzt)
>
> und:
>
> [mm]J_{m-1}(s)=(\bruch{s}{2})^m (\bruch{2}{s}) \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}(n+m)}{n!(m+n)!} (\bruch{s}{2})^{2n}[/mm]
>
> daraus folgt dann:
>
Kleiner Tippfehler in der hinteren Klammer:
> [mm]J_{m+1}(s)=(\bruch{s}{2})^m \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n!(n+m)!} (\bruch{s}{2})^{2n} [\bruch{2m}{s}-\bruch{2}{s}(n+m)]=..=-m* J_{m}(s)[/mm]
Du könntest die "..." näher ausführen. Im Moment ist der Schritt mehr ein "and then a miracle occurs". Jedenfalls ist er nicht offensichtlich, aber bis hier stimmt's.
ciao
Stefan
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ja hab mich vertippt, richtig, also so sollte es dann aussehen:
[mm] J_{m+1}(s)=(\bruch{s}{2})^m \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n!(n+m)!} (\bruch{s}{2})^{2n} [\bruch{2m}{s}-\bruch{2}{s}(n+m)]=-\bruch{2n}{s}\cdot{} J_{m}(s)
[/mm]
aber leider stimmts dann immernoch nicht. wann muss ich ändern, damit es passt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Di 16.12.2008 | | Autor: | Blech |
> ja hab mich vertippt, richtig, also so sollte es dann
> aussehen:
>
> [mm]J_{m+1}(s)=(\bruch{s}{2})^m \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n!(n+m)!} (\bruch{s}{2})^{2n} [\bruch{2m}{s}-\bruch{2}{s}(n+m)]=-\bruch{2n}{s}\cdot{} J_{m}(s)[/mm]
Jetzt stimmt's nicht mehr. Du summierst doch über n, wie kann das dann zum Schluß noch rumstehen? (Hust, ja solche Fehler kenne ich =)
[mm] $J_{m+1}(s)=(\bruch{s}{2})^m \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n!(n+m)!} (\bruch{s}{2})^{2n} [\bruch{2m}{s}-\bruch{2}{s}(n+m)]=$
[/mm]
[mm] $=(\bruch{s}{2})^m \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}n}{n!(n+m)!} (\bruch{s}{2})^{2n-1}=(\bruch{s}{2})^m \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{(n-1)!(n+m)!} (\bruch{s}{2})^{2n-1}$
[/mm]
Der Summand n=0 fällt raus.
Jetzt änderst Du Deinen Summationsindex zu k:=n-1
ciao
Stefan
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danke für die antwort,
aber müsste der ausdruck dann nicht so aussehen:
[mm] (\bruch{s}{2})^m \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(n-1)!(n-1+m)!} (\bruch{s}{2})^{2(n-1)} [/mm] ?
=> [mm] (\bruch{s}{2})^m \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k+1}}{(k)!(k+m)!} (\bruch{s}{2})^{2k}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Di 16.12.2008 | | Autor: | Blech |
> danke für die antwort,
> aber müsste der ausdruck dann nicht so aussehen:
>
> [mm](\bruch{s}{2})^m \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(n-1)!(n-1+m)!} (\bruch{s}{2})^{2(n-1)}[/mm]
? Die Klammer war 2/s*(-n)
Wohin verschwindet bei Dir das - von -n und woher nimmst Du den Faktor n+m im Zähler, um im Nenner auf (n-1+m)! zu kommen?
$ [mm] (\bruch{s}{2})^m \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n!(n+m)!} (\bruch{s}{2})^{2n} (-\bruch{2}{s}n)=(\bruch{s}{2})^m \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}n}{n!(n+m)!} (\bruch{s}{2})^{2n-1}$
[/mm]
oder siehst Du irgendwo einen Fehler an dieser Gleichung?
ciao
Stefan
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