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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Do 28.05.2009 | | Autor: | Lorence |
| Aufgabe | Berechne die Länge der rektifizierbaren Kurve:
f(t):= [mm] \pmat{a*cos^3(t) \\ a*sin^3(t) } [/mm]
für [mm] 0\le t\le2\pi [/mm] |
So, mein Ansatz:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{|f(t)'|dt}=\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel[2]{(3a*cos^2(t)*-sin(t))^2+(3a*sin^2(t)*cos(x))^2}dt}
[/mm]
So jetzt habe ich das ausmultipliziert, zusammengefasst und rausgezogen und komme zu
[mm] 3a*\integral_{0}^{2\pi}{cos(t)*sin(t)dt}
[/mm]
Eine Stammfunktion ist schnell gefunden:
[mm] 3a*\integral_{0}^{2\pi}{cos(t)*sin(t)dt}=3a*[-\bruch{1}{2}cos^2(x)] [/mm] mit den Grenzen von 0 bis [mm] 2\pi. [/mm]
Wenn ich jetzt die Grenzen einsetze kommt aber leider 0 heraus! Was ja nicht sein kann, da die Länge der Kurve ja schlecht 0 sein kann.
Wenn ich mit Mapple den Betrag von sin(t)cos(t) integriere dann kommt 2 heraus, was auch die Lösung laut Lösungsbuch ist. Wie integriere ich also diesen Ausdruck am besten? Wenn ich die Funktion zeichne dann stelle ich fest, dass die Flächen unterhalb der x-Achse genauso groß sind wie die Fläche oberhalb der x-Achse, im Intervall 0 bis [mm] 2\pi [/mm] zumindestens, ich dachte immer das Integral würde mir die absolute Größe der Fläche wiedergeben und nicht die positive Fläche mit der "negativen" Fläche verrechnen! Oder bin ich total falsch?
Gruß und danke für die Hilfe im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Do 28.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Berechne die Länge der rektifizierbaren Kurve:
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> f(t):= [mm]\pmat{a*cos^3(t) \\ a*sin^3(t) }[/mm]
>
> für [mm]0\le t\le2\pi[/mm]
> So, mein Ansatz:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{|f(t)'|dt}=\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel[2]{(3a*cos^2(t)*-sin(t))^2+(3a*sin^2(t)*cos(x))^2}dt}[/mm]
>
> So jetzt habe ich das ausmultipliziert, zusammengefasst und
> rausgezogen und komme zu
>
> [mm]3a*\integral_{0}^{2\pi}{cos(t)*sin(t)dt}[/mm]
Hallo,
eine Wurzel kann keine negativen Werte haben. Deshalb ist die Umformung zu cos(t)sin(t) (ein Term, der negativ werden kann) keine äquivalente Umformung.
Hier wäre |cos(t)*sin(t)| besser gewesen.
>
> Eine Stammfunktion ist schnell gefunden:
>
> [mm]3a*\integral_{0}^{2\pi}{cos(t)*sin(t)dt}=3a*[-\bruch{1}{2}cos^2(x)][/mm]
> mit den Grenzen von 0 bis [mm]2\pi.[/mm]
>
> Wenn ich jetzt die Grenzen einsetze kommt aber leider 0
> heraus! Was ja nicht sein kann, da die Länge der Kurve ja
> schlecht 0 sein kann.
> Wenn ich mit Mapple den Betrag von sin(t)cos(t) integriere
> dann kommt 2 heraus, was auch die Lösung laut Lösungsbuch
> ist. Wie integriere ich also diesen Ausdruck am besten?
> Wenn ich die Funktion zeichne dann stelle ich fest, dass
> die Flächen unterhalb der x-Achse genauso groß sind wie die
> Fläche oberhalb der x-Achse, im Intervall 0 bis [mm]2\pi[/mm]
> zumindestens, ich dachte immer das Integral würde mir die
> absolute Größe der Fläche wiedergeben und nicht die
> positive Fläche mit der "negativen" Fläche verrechnen!
Oh doch, das tut es.
Gruß Abakus
> Oder
> bin ich total falsch?
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> Gruß und danke für die Hilfe im vorraus
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Do 28.05.2009 | | Autor: | Lorence |
Ja und wie integriere ich |sin(x)cos(x)| ???
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Hallo Lorence,
> Ja und wie integriere ich |sin(x)cos(x)| ???
Bestimme mal die NSTen von [mm] $\sin(x)\cos(x)$ [/mm] im gegebenen Intervall [mm] $[0,2\pi]$, [/mm] teile es entsprechend in Teilintervalle auf und integriere von einem Teilintervall zum anderen.
Oder rechne die Länge auf einem Teilintervall auf das ganze Intervall hoch ...
Eine Skizze - etwa mit ![[]](/images/popup.gif) Funkyplot - ist da sicher hilfreich ...
LG
schachuzipus
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