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Hallo Community,
ich habe ein Problem mit einer Reihe, deren lösung sich vor mir verschließt.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k!}z^k
[/mm]
die Terme einzeln zu lösen, stellt kein Problem dar. Ich hatte bereits im walther mal nach solchen typen von Reihen gesucht und fand nur einen ähnlichen Ausdruck (p! anstatt k!), der zusätzlich noch eine Multiplikation mit (p - z) oder so ähnlich aufweist.
Daher bitte ich euch mir einen Gedankenanstoß zur Lösung zu geben.
vielen dank
muh
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Tut mir leid ich muss mich korrigieren: z sei reelle Zahl
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} z^k
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo muh,
> Tut mir leid ich muss mich korrigieren: z sei reelle Zahl
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} z^k[/mm]
das ist einfach [mm] $\exp(z)=e^z$ [/mm] (sogar für komplexes $z$). Da gibt's verschiedene Möglichkeiten:
Mit der Taylorentwicklung kannst Du das herleiten oder auch so, wie z.B. hier in Satz 7.4
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Mir stellt sich nun die Frage:
Was hast Du eigentlich bei dieser Reihe zu untersuchen? Im Prinzip ist das, auch wenn man keine Ahnung mit dem Zusammenhang zu [mm] $\exp(.)$ [/mm] hat, eine Potenzreihe mit Konvergenzradius [mm] $\infty$.
[/mm]
Das sieht man sehr leicht mit dem Quotientenkriterium ein...
(Wurzelkriterium geht auch, aber da muss man erstmal begründen, dass [mm] $\sqrt[k]{k!} \to \infty$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mi 16.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Für beliebiges [mm] $z\in\IC$ [/mm] ist [mm] $\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{k!}=:\exp(z)=:e^z$.
[/mm]
Ich weiß ja nicht was jetzt deine konkrete Aufgabe ist, aber zu dieser Reihe solltest du genügend finden.
Deine Reihe ist dann einfach [mm] $e^z-1$.
[/mm]
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