reelles Integral, Residuensatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 So 04.07.2010 | | Autor: | Camille |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Integrale:
(i) [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} dx}
[/mm]
(ii) [mm] \integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\bruch{1}{1+sin^{2}(x)} dx} [/mm] |
Hallo zusammen!
Wir haben zuletzt den Residuensatz besprochen und sollen nun die gegebenen Integrale berechnen. Was mich ein wenig aus dem Konzept bringt ist die Tatsache, dass es sich hierbei um reelle Integrale handelt. Ich bin mit der Anwendung des Residuensatzes in der reellen Analysis nicht vertraut. Ich habe nachgelesen, dass ich das Integrationsintervall zu einem geschlossenen Integrationsweg in Beziehung setzen kann, habe die Beispiele dazu aber nicht wirklich nachvollziehen können.
Könnte mir jemand das prinzipielle Vorgehen hierbei an einem der Integrale verdeutlichen? Ich wäre euch sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 So 04.07.2010 | | Autor: | pelzig |
Guck doch mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 So 04.07.2010 | | Autor: | Camille |
Alles klar, ich hab' komplett in die falsche Richtung gedacht.
Demnach kann ich also folgendes sagen:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} dx} [/mm] = [mm] 2\pi*i \summe_{Im z_{0} > 0}^{} res_{z_{0}} (\bruch{1}{(z^{2}+1)(z^{2}+4)}) [/mm] = [mm] 2\pi*i (res_{i} (\bruch{1}{(z^{2}+1)(z^{2}+4)}) [/mm] + [mm] res_{2i} (\bruch{1}{(z^{2}+1)(z^{2}+4)}))
[/mm]
[mm] (x^{2}+1)(x^{2}+4) [/mm] besitzt in i und 2i jeweils eine Nullstelle 1. Ordnung [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] res_{i} (\bruch{1}{(z^{2}+1)(z^{2}+4)}) [/mm] = [mm] res_{i} (\bruch{1}{x^{4}+5x^{2}+4}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4i^{3}+10i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-4i+10i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6i}
[/mm]
und
[mm] res_{2i} (\bruch{1}{(z^{2}+1)(z^{2}+4)}) [/mm] = [mm] res_{2i} (\bruch{1}{x^{4}+5x^{2}+4}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4(2i)^{3}+10(2i)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-32i+20i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-12i}
[/mm]
Demnach gilt:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} dx} [/mm] = [mm] 2\pi*i(\bruch{1}{6i} [/mm] + [mm] \bruch{1}{-12i}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}\pi
[/mm]
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 So 04.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Alles klar, ich hab' komplett in die falsche Richtung
> gedacht.
>
> Demnach kann ich also folgendes sagen:
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} dx} = 2\pi*i \summe_{Im z_{0} > 0}^{} res_{z_{0}} (\bruch{1}{(z^{2}+1)(z^{2}+4)})[/mm]
> = [mm]2\pi*i (res_{i} (\bruch{1}{(z^{2}+1)(z^{2}+4)}) + res_{2i} (\bruch{1}{(z^{2}+1)(z^{2}+4)}))[/mm]
>
> [mm](x^{2}+1)(x^{2}+4)[/mm] besitzt in i und 2i jeweils eine Nullstelle 1. Ordnung [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]res_{i} (\bruch{1}{(z^{2}+1)(z^{2}+4)}) = res_{i} (\bruch{1}{x^{4}+5x^{2}+4}) = \bruch{1}{4i^{3}+10i} = \bruch{1}{-4i+10i} = \bruch{1}{6i}[/mm]
> und
> [mm]res_{2i} (\bruch{1}{(z^{2}+1)(z^{2}+4)}) = res_{2i} (\bruch{1}{x^{4}+5x^{2}+4}) = \bruch{1}{4(2i)^{3}+10(2i)} = \bruch{1}{-32i+20i} = \bruch{1}{-12i}[/mm]
>
> Demnach gilt:
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} dx} = 2\pi*i(\bruch{1}{6i} + \bruch{1}{-12i}) = \bruch{1}{6}\pi[/mm]
>
> Stimmt das so?
Alles richtig!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 So 04.07.2010 | | Autor: | Camille |
Ich habe nun auch versucht das zweite Integral
[mm] \integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\bruch{1}{1+sin^{2}(x)} dx}
[/mm]
zu berechnen. Mein Ansatz sieht wie folgt aus:
[mm] \integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\bruch{1}{1+sin^{2}(x)} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{1+sin^{2}(x)} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{1+sin^{2}(x)} dx} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{1+(\bruch{1}{2i}(e^{it}-e^{-it}))^{2}} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2i} \integral_{|z|=1}^{}{\bruch{1}{1+(\bruch{1}{2i}(z-\bruch{1}{z}))^{2}} \bruch{dx}{z}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2i} \integral_{|z|=1}^{}{\bruch{1}{\bruch{3}{2}-\bruch{z^{2}}{4}-\bruch{1}{4z^{2}}} \bruch{dx}{z}} [/mm] =
[mm] \bruch{2}{i} \integral_{|z|=1}^{}{\bruch{1}{6-z^{2}-\bruch{1}{z^{2}}} \bruch{dx}{z}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{i} \integral_{|z|=1}^{}{\bruch{4z}{z^{2}-z^{4}-1} dx}
[/mm]
Nur steck' ich nun irgendwie fest... Ist mein Ansatz falsch oder ist mir ein Fehler unterlaufen? Oder kommt man aus der Geschichte irgendwie raus?
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Hallo Camille,
> Ich habe nun auch versucht das zweite Integral
> [mm]\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\bruch{1}{1+sin^{2}(x)} dx}[/mm]
> zu
> berechnen. Mein Ansatz sieht wie folgt aus:
>
> [mm]\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\bruch{1}{1+sin^{2}(x)} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{1+sin^{2}(x)} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2} \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{1+sin^{2}(x)} dx}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{2} \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{1+(\bruch{1}{2i}(e^{it}-e^{-it}))^{2}} dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2i} \integral_{|z|=1}^{}{\bruch{1}{1+(\bruch{1}{2i}(z-\bruch{1}{z}))^{2}} \bruch{dx}{z}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2i} \integral_{|z|=1}^{}{\bruch{1}{\bruch{3}{2}-\bruch{z^{2}}{4}-\bruch{1}{4z^{2}}} \bruch{dx}{z}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{2}{i} \integral_{|z|=1}^{}{\bruch{1}{6-z^{2}-\bruch{1}{z^{2}}} \bruch{dx}{z}}[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{i} \integral_{|z|=1}^{}{\bruch{4z}{z^{2}-z^{4}-1} dx}[/mm]
Hier ist Dir ein kleine Fehler unterlaufen:
[mm]\bruch{2}{i} \integral_{|z|=1}^{}{\bruch{1}{6-z^{2}-\bruch{1}{z^{2}}} \bruch{dz}{z}}=\bruch{2}{i} \integral_{|z|=1}^{}{\bruch{z}{\red{6}z^{2}-z^{4}-1} \ dz}[/mm]
>
> Nur steck' ich nun irgendwie fest... Ist mein Ansatz falsch
> oder ist mir ein Fehler unterlaufen? Oder kommt man aus der
> Geschichte irgendwie raus?
Berechne jetzt die Lösungen der GLeichung
[mm]6z^{2}-z^{4}-1=0[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 So 04.07.2010 | | Autor: | Camille |
Alles klar, ich hätte also nun gezeigt:
[mm] \integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\bruch{1}{1+sin^{2}(x)} dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{i} \integral_{|z|=1}^{}{\bruch{z}{6z^{2}-z^{4}-1} dz}
[/mm]
Die Nullstellen des Nenners des rechten Integrals sind die folgenden:
[mm] z_{1} [/mm] = [mm] 1+\wurzel{2}
[/mm]
[mm] z_{2} [/mm] = [mm] 1-\wurzel{2}
[/mm]
[mm] z_{3} [/mm] = [mm] -1+\wurzel{2}
[/mm]
[mm] z_{4} [/mm] = [mm] -1-\wurzel{2}
[/mm]
Mit Hilfe des Residuensatzes folgerere ich:
[mm] \bruch{2}{i} \integral_{|z|=1}^{}{\bruch{z}{6z^{2}-z^{4}-1} dz} [/mm] = [mm] 4\pi ({\bruch{z_{2}}{12z_{2}-4z_{2}^{3}}} [/mm] + [mm] {\bruch{z_{3}}{12z_{3}-4z_{3}^{3}}}) [/mm] = [mm] 4\pi ({\bruch{1-\wurzel{2}}{12(1-\wurzel{2})-4(1-\wurzel{2})^{3}}} [/mm] + [mm] {\bruch{-1+\wurzel{2}}{12(-1+\wurzel{2})-4(-1+\wurzel{2})^{3}}}) [/mm] = [mm] 4\pi ({\bruch{1-\wurzel{2}}{12(1-\wurzel{2})-4(1-\wurzel{2})^{3}}} [/mm] + [mm] {\bruch{-1+\wurzel{2}}{(-1)(12(1-\wurzel{2})-4(1-\wurzel{2})^{3})}}) [/mm] = [mm] 4\pi ({\bruch{2-2\wurzel{2}}{12(1-\wurzel{2})-4(1-\wurzel{2})^{3}}}) [/mm] = [mm] 4\pi ({\bruch{2-2\wurzel{2}}{-16+8\wurzel{2}}}) [/mm] = [mm] -\bruch{1-\wurzel{2}}{2-\wurzel{2}}\pi
[/mm]
Ist das grundlegende Vorgehen in Ordnung? So ganz dürfte das, glaub' ich, nicht stimmen...
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Hallo Camille,
> Alles klar, ich hätte also nun gezeigt:
> [mm]\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\bruch{1}{1+sin^{2}(x)} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{i} \integral_{|z|=1}^{}{\bruch{z}{6z^{2}-z^{4}-1} dz}[/mm]
>
> Die Nullstellen des Nenners des rechten Integrals sind die
> folgenden:
> [mm]z_{1}[/mm] = [mm]1+\wurzel{2}[/mm]
> [mm]z_{2}[/mm] = [mm]1-\wurzel{2}[/mm]
> [mm]z_{3}[/mm] = [mm]-1+\wurzel{2}[/mm]
> [mm]z_{4}[/mm] = [mm]-1-\wurzel{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Mit Hilfe des Residuensatzes folgerere ich:
> [mm]\bruch{2}{i} \integral_{|z|=1}^{}{\bruch{z}{6z^{2}-z^{4}-1} dz}[/mm]
> = [mm]4\pi ({\bruch{z_{2}}{12z_{2}-4z_{2}^{3}}}[/mm] +
> [mm]{\bruch{z_{3}}{12z_{3}-4z_{3}^{3}}})[/mm] = [mm]4\pi ({\bruch{1-\wurzel{2}}{12(1-\wurzel{2})-4(1-\wurzel{2})^{3}}}[/mm]
> +
> [mm]{\bruch{-1+\wurzel{2}}{12(-1+\wurzel{2})-4(-1+\wurzel{2})^{3}}})[/mm]
> = [mm]4\pi ({\bruch{1-\wurzel{2}}{12(1-\wurzel{2})-4(1-\wurzel{2})^{3}}}[/mm]
> +
> [mm]{\bruch{-1+\wurzel{2}}{(-1)(12(1-\wurzel{2})-4(1-\wurzel{2})^{3})}})[/mm]
> = [mm]4\pi ({\bruch{2-2\wurzel{2}}{12(1-\wurzel{2})-4(1-\wurzel{2})^{3}}})[/mm]
> = [mm]4\pi ({\bruch{2-2\wurzel{2}}{-16+8\wurzel{2}}})[/mm] =
> [mm]-\bruch{1-\wurzel{2}}{2-\wurzel{2}}\pi[/mm]
>
> Ist das grundlegende Vorgehen in Ordnung? So ganz dürfte
Ja, bei den Residuen musst Du alle beruecksichtigen,
da Du hier nicht über den Einheitskreis, sondern über
ganz [mm]\IR^{2}[/mm] integrierst.
> das, glaub' ich, nicht stimmen...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 So 04.07.2010 | | Autor: | Camille |
Das verstehe ich leider nicht. Werden die beiden anderen Residuen nicht mit ihrer Umlaufzahl (=0) multipliziert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 So 04.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das verstehe ich leider nicht. Werden die beiden anderen
> Residuen nicht mit ihrer Umlaufzahl (=0) multipliziert?
Du hast recht: die anderen beiden Pole tragen nicht bei, da sie außerhalb des Einheitskreises liegen.
Viele Grüße
Rainer
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 23:46 So 04.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ja, bei den Residuen musst Du alle beruecksichtigen,
> da Du hier nicht über den Einheitskreis, sondern über
> ganz [mm]\IR^{2}[/mm] integrierst.
Nein, Integrationsweg ist der Rand des Einheitskreises. Nur die beiden Pole, deren Betrag $<1$ ist, tragen bei.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 So 04.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Alles klar, ich hätte also nun gezeigt:
> [mm]\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\bruch{1}{1+sin^{2}(x)} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{i} \integral_{|z|=1}^{}{\bruch{z}{6z^{2}-z^{4}-1} dz}[/mm]
>
> Die Nullstellen des Nenners des rechten Integrals sind die
> folgenden:
> [mm]z_{1}[/mm] = [mm]1+\wurzel{2}[/mm]
> [mm]z_{2}[/mm] = [mm]1-\wurzel{2}[/mm]
> [mm]z_{3}[/mm] = [mm]-1+\wurzel{2}[/mm]
> [mm]z_{4}[/mm] = [mm]-1-\wurzel{2}[/mm]
>
> Mit Hilfe des Residuensatzes folgerere ich:
> [mm]\bruch{2}{i} \integral_{|z|=1}^{}{\bruch{z}{6z^{2}-z^{4}-1} dz}[/mm]
> = [mm]4\pi ({\bruch{z_{2}}{12z_{2}-4z_{2}^{3}}}[/mm] +
> [mm]{\bruch{z_{3}}{12z_{3}-4z_{3}^{3}}})[/mm] = [mm]4\pi ({\bruch{1-\wurzel{2}}{12(1-\wurzel{2})-4(1-\wurzel{2})^{3}}}[/mm]
> +
> [mm]{\bruch{-1+\wurzel{2}}{12(-1+\wurzel{2})-4(-1+\wurzel{2})^{3}}})[/mm]
> = [mm]4\pi ({\bruch{1-\wurzel{2}}{12(1-\wurzel{2})-4(1-\wurzel{2})^{3}}}[/mm]
> +
> [mm]{\bruch{-1+\wurzel{2}}{(-1)(12(1-\wurzel{2})-4(1-\wurzel{2})^{3})}})[/mm]
> = [mm]4\pi ({\bruch{2-2\wurzel{2}}{12(1-\wurzel{2})-4(1-\wurzel{2})^{3}}})[/mm]
> = [mm]4\pi ({\bruch{2-2\wurzel{2}}{-16+8\wurzel{2}}})[/mm] =
> [mm]-\bruch{1-\wurzel{2}}{2-\wurzel{2}}\pi[/mm]
>
> Ist das grundlegende Vorgehen in Ordnung? So ganz dürfte
> das, glaub' ich, nicht stimmen...
Doch das Ergebnis ist richtig (ich habe aber nicht alle Zwischenschritte kontrolliert)
Am Schluss kannst du noch weiter vereinfachen, weil [mm] $2-\wurzel{2}=\wurzel{2}(1-\wurzel{2})$ [/mm] ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 So 04.07.2010 | | Autor: | Camille |
Ich danke euch für eure Hilfe! Gerade auch dir, Rainer, herzlichen Dank!
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