reell analytische funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | beweisen sie, dass die funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] mit [mm] f=\bruch{1}{cosh(x)} [/mm]
i) reell analytisch ist
ii) bestimmen sie den konvergenzradius ihrer taylorreihe um 0
iii) was ist das größtmögliche definitionsgebiet einer holom. funktion, die auf [mm] \IR [/mm] mit f übereinstimmt? |
guten tag!
ich soll die folgende aufgabe bearbeiten. dazu hätte ich eine frage:
wie kann ich zeigen, dass f reell analytisch ist? es heisst doch, f ist global reell analytisch, wenn f in jeden punkt [mm] a_{0} [/mm] des definitionsbereiches in eine potenzreihe darstellbar ist?
dazu müsste ich f in eine taylorreihe entwickeln und zeigen, dass f in jeden punkt als taylorreihe darstellbar ist?
ich weiss, dass: [mm] f(x)=\bruch{1}{cosh(x)}=2(e^{x}+e^{^-x})^{-1} [/mm]
wenn ich jetzt f in eine taylorreihe entwickle, mit der folgenden formel:
[mm] g(x)=\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{f^{(n)}(a_{0})}{n!}(x-a_{o})^{n})
[/mm]
was muss ich jetzt hier noch mache? ich kann doch nicht die n-te ableitung berechnen?
wenn ich die taylorreihe habe, dann kann ich mit der formel von cauchy-hadamard den konvergenzradíus berechnen.
bei iii) fällt mir auch keine idee ein.
danke für einen vorschlag!
ich habe diese frage in keinem forum auf anderen internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Mi 17.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> beweisen sie, dass die funktion [mm]f:\IR\to\IR[/mm] mit
> [mm]f=\bruch{1}{cosh(x)}[/mm]
> i) reell analytisch ist
> ii) bestimmen sie den konvergenzradius ihrer taylorreihe
> um 0
> iii) was ist das größtmögliche definitionsgebiet einer
> holom. funktion, die auf [mm]\IR[/mm] mit f übereinstimmt?
> guten tag!
> ich soll die folgende aufgabe bearbeiten. dazu hätte ich
> eine frage:
> wie kann ich zeigen, dass f reell analytisch ist? es
> heisst doch, f ist global reell analytisch, wenn f in jeden
> punkt [mm]a_{0}[/mm] des definitionsbereiches in eine potenzreihe
> darstellbar ist?
Genau.
> dazu müsste ich f in eine taylorreihe entwickeln und
> zeigen, dass f in jeden punkt als taylorreihe darstellbar
> ist?
Nein. Da du anscheinend einen gewissen Apperat aus der Funktionentheorie zur Verfuegung hast geht das damit wesentlich einfacher.
> ich weiss, dass:
> [mm]f(x)=\bruch{1}{cosh(x)}=2(e^{x}+e^{-x})^{-1}[/mm]
> wenn ich jetzt f in eine taylorreihe entwickle, mit der
> folgenden formel:
>
> [mm]g(x)=\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{f^{(n)}(a_{0})}{n!}(x-a_{o})^{n})[/mm]
>
> was muss ich jetzt hier noch mache? ich kann doch nicht die
> n-te ableitung berechnen?
Wieso kannst du das nicht? Hast du es schonmal versucht?
> wenn ich die taylorreihe habe, dann kann ich mit der
> formel von cauchy-hadamard den konvergenzradíus berechnen.
Ja, das brauchst du aber nicht.
Betrachte die Funktion doch einfach mal als meromorphe Funktion auf [mm] $\IC$. [/mm] Die Funktion $z [mm] \mapsto \cosh [/mm] z$ ist ja auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] holomorph und nicht identisch 0, womit $z [mm] \mapsto \frac{1}{\cosh z}$ [/mm] meromorph auf [mm] $\IC$ [/mm] ist.
Wenn du die Funktion in einer Nicht-Polstelle $z [mm] \in \IC$ [/mm] entwickelst, ist der Konvergenzradius der Abstand zum naechsten Pol (wenn du nicht weist warum, denk da mal drueber nach und schau in der VL nach ob das vielleicht irgendwo erwaehnt ist). Wenn du also die Polstellen herausfindest, kannst du den Potenzradius der Taylorentwicklung der meromorphen Funktion um 0 angeben, ohne auch nur eine Ableitung zu berechnen!
So. Jetzt zurueck zur reellen Funktion. Wenn du die reelle Funktion betrachtest und eine Taylorreihenentwicklung in einem Punkt $x [mm] \in \IR$ [/mm] durchfuehrst, bekommst du genau die gleiche Reihe, als wenn du die meromorphe Funktion in $x [mm] \in \IC$ [/mm] als Potenzreihe entwickelst! (Da die reelle Ableitung der reellen Funktion auf [mm] $\IR$ [/mm] mit der komplexen Ableitung der meromorphen Funktion uebereinstimmt.)
Damit kannst du auf [mm] $\IR$ [/mm] bei der reellen Funktion den Konvergenzradius mit Hilfe der komplexen Polstellen genauso berechnen! Und weiterhin ist die Funktion insbesondere genau dann reell analytisch, wenn sich kein Pol auf der reellen Achse befindet.
> bei iii) fällt mir auch keine idee ein.
Hast du jetzt ne Idee? :)
LG Felix
|
|
|
|
