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| Aufgabe | Gegeben sei:
$q = [mm] 10x_1^2 [/mm] + [mm] 10x_1x_2 [/mm] + [mm] 5x_2^2 [/mm] + [mm] 8x_1 [/mm] + [mm] 6x_2 [/mm] + 1 [mm] \in \IR[x_1,x_2]$
[/mm]
Bestimmen Sie den affinen Typ von [mm] $\nu [/mm] (q)$ und gegen Sie die Normalform an. |
moin,
Ich übe gerade für eine Klausur, in der unter anderem solche Aufgaben auftreten werden.
Ich bin jetzt wie folgt vorgegangen:
Zuerst für den quadratischen Teil die Matrix $B = [mm] \pmat{10 & 5 \\ 5 & 5}$ [/mm] aufstellen.
Dann diese mit elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen orthogonal diagonalisieren, also umformen zu $D = [mm] \pmat{10 & 0 \\ 0 & 2.5}$ [/mm] wobei $T^TBT = D$ mit $T = [mm] \pmat{1 & -0.5 \\ 0 & 1}$
[/mm]
Somit ist also $q$ schonmal affin äquivalent zu:
$q' = [mm] 10y_1^2 [/mm] + [mm] 2.5y_2^2 +8y_1 [/mm] + [mm] 2y_2 [/mm] + 1$
Mit quadratischer Ergänzung noch weiter aufräumen zu:
$q'' = [mm] z_1^2 [/mm] + [mm] z_2^2 [/mm] - [mm] \frac{16}{10} [/mm] - [mm] \frac{1}{2.5} [/mm] + 1$
$q'' = [mm] z_1^2 [/mm] + [mm] z_2^2 [/mm] -1$
Somit als Normalform:
[mm] $x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2 [/mm] = 1$, also ein Kreis.
So, zu aller erst die Frage:
Habe ich das richtig gemacht?
Und dann die viel interessantere Frage:
Wie kann man das schöner machen?
Ich habe das öfters gerechnet, bis alle Fehler raus wahren - wobei wahrscheinlich immer noch Fehler drinnstecken.
Und ich hab das ganze jetzt nur ganz knapp gepostet, die gesamte Rechnung ist doch ein wenig länger.^^
In der knappen Klausurzeit, ggf. mit Panik etc. besteht also die gute Chance, dass ich mich heillos verrechne.
Deshalb wäre ich für jeden Tipp dankbar, wie man sich hier Rechnungen sparen kann, wie man das ganze ggf. mit Überlegungen (bei denen nicht so häufig Flüchtigkeitsfehler auftreten^^) lösen kann und nicht mit brachialem Rechnen.
Danke schonmal für Tipps.
lg
Schadow
PS: Das [mm] $\nu$ [/mm] in der Aufgabenstellung soll groß sein, aber \Nu kennt der Editor hier scheinbar nicht...
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> Gegeben sei:
> [mm]q = 10x_1^2 + 10x_1x_2 + 5x_2^2 + 8x_1 + 6x_2 + 1 \in \IR[x_1,x_2][/mm]
>
> Bestimmen Sie den affinen Typ von [mm]\nu (q)[/mm] und gegen Sie die
> Normalform an.
> moin,
>
> Ich übe gerade für eine Klausur, in der unter anderem
> solche Aufgaben auftreten werden.
> Ich bin jetzt wie folgt vorgegangen:
> Zuerst für den quadratischen Teil die Matrix [mm]B = \pmat{10 & 5 \\
5 & 5}[/mm]
> aufstellen.
Hallo,
die Matrix ist richtig.
> Dann diese mit elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen
> orthogonal diagonalisieren, also umformen zu [mm]D = \pmat{10 & 0 \\
0 & 2.5}[/mm]
Hm. Hier scheint etwas gründlich schiefgegangen zu sein.
Was meinst Du mit "mit elementaren Zeilen- und Spaltenumformungenorthogonal diagonalisieren"?
Irgendwas ist da schiefgelaufen.
> wobei [mm]T^TBT = D[/mm] mit [mm]T = \pmat{1 & -0.5 \\
0 & 1}[/mm]
>
> Somit ist also [mm]q[/mm] schonmal affin äquivalent zu:
> q' = [mm] 10y_1^2 [/mm] + [mm] 2.5y_2^2 +\red{8y_1 + 2y_2} [/mm] + 1
>
Moment: bei den linearen Termen darfst Du nicht einfach die x in y umtaufen!
Du hattest ja sicher gesetzt y:=T^Tx, und entsprechend wird aus [mm] 8x_1+2x_2=\pmat{8&2}x=\pmat{8&2}TT^Tx)=\pmat{8&2}Ty.
[/mm]
> Mit quadratischer Ergänzung noch weiter aufräumen zu:
> [mm]q'' = z_1^2 + z_2^2 - \frac{16}{10} - \frac{1}{2.5} + 1[/mm]
>
> [mm]q'' = z_1^2 + z_2^2 -1[/mm]
>
> Somit als Normalform:
> [mm]x_1^2 + x_2^2 = 1[/mm], also ein Kreis.
>
> So, zu aller erst die Frage:
> Habe ich das richtig gemacht?
Nicht ganz.
>
> Und dann die viel interessantere Frage:
> Wie kann man das schöner machen?
Richtig rechnen.
> Ich habe das öfters gerechnet, bis alle Fehler raus
> wahren - wobei wahrscheinlich immer noch Fehler
> drinnstecken.
> Und ich hab das ganze jetzt nur ganz knapp gepostet, die
> gesamte Rechnung ist doch ein wenig länger.^^
> In der knappen Klausurzeit, ggf. mit Panik etc. besteht
> also die gute Chance, dass ich mich heillos verrechne.
Vereinfachungspotential von Seiten des Ablaufes sehe ich nicht.
Aber keine Panik!
Wenn eine Hauptachsentransformation in der Klausur drankommt, wird sie freundlich sein mit schönen Zahlen und geschmeidigen Eigenwerten, so daß
man, wenn man's kann, ziemlich schnell durchsein wird damit.
LG Angela
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