quadratische Säule < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Fr 17.09.2004 | | Autor: | vogel |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Also folgende Frage :
Welche quadratische Säule mit gegebenem Volumen hat die kürzeste Körperdiagonale?
Was ich dazu weiss:
Ich brauche eine Zielfunktion, von der ich die Ableitung bestimmen muss, um so die Extremstellen berechnen zu können.
Meine Überlegungen:
In der Zielfunktion, muss einmal V vorkommen + eine unbekannte, was meiner Meinung nach, a sein sollte.
Hätte ich jezz nen Programm zum erstellen von Grafiken wäre es viellicht besser, aber ich versuchs mal zu beschreiben.
Die beiden Seiten der Grundfläche haben die Länge a.
Die Diagonale der Grundfläche ist d.
die Raumdiagonale ist k
und die Höhe ist h.
Gesucht ist ja die kürzmöglichste Länge für k, was bei einem Würfel der Fall ist. Das weiss ich, muss es aber beweisen. Damit ein Würfel gegeben ist, muss die Höhe h = a sein.
Was ich schon so alles aufgestellt habe:
k² = h² + d²
a²+a² = d²
a = [mm] \wurzel[3]{V} [/mm]
h = V / a²
[mm] \Rightarrow [/mm] k = [mm] \wurzel{(V/a²)+2a²}
[/mm]
So, soweit bin ich gekommen, aber nun reichen meine mathematischen Fähigkeiten nicht, diese "Funktion" abzuleiten...
Oder fehlt da sogar noch etwas ?
Ich danke schonmal ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Micha |
Danke an Marcel für den Hinweis auf meinen Fehler! Ich hatte auch noch 2 Ableitungsstriche vergessen!
> ...
> Gesucht ist ja die kürzmöglichste Länge für k, was bei
> einem Würfel der Fall ist. Das weiss ich, muss es aber
> beweisen. Damit ein Würfel gegeben ist, muss die Höhe h = a
> sein.
>
> Was ich schon so alles aufgestellt habe:
>
> k² = h² + d²
>
> a²+a² = d²
>
> a = [mm]\wurzel[3]{V}[/mm]
>
> h = V / a²
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] k = [mm]\wurzel{(V/a²)+2a²}
[/mm]
>
> So, soweit bin ich gekommen, aber nun reichen meine
> mathematischen Fähigkeiten nicht, diese "Funktion"
> abzuleiten...
> Oder fehlt da sogar noch etwas ?
>
Ist doch schonmal ne ganze Menge, was du da zusammen gesammelt hast. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du solltest bei deiner Zielfunktion im Kopf behalten, was du eigentlich maximieren oder minimieren willst. Das ist bei dir die Raumdiagonale k.
Also nehmen wir schonmal deine Gleichung in der k vorkommt und günstigstenfalls auf einer Seite steht:
[mm] $k^2 [/mm] = [mm] h^2 [/mm] + [mm] d^2 [/mm] $ (*).
Jetzt guckst du, was dir noch fehlt: h und d.
Aber du hast noch zwei Gleichungen, in denen diese Variablen beinahe isoliert stehen:
[mm] $d^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] a^2 [/mm] = [mm] 2a^2 \gdw [/mm] d = [mm] \sqrt{2}a$
[/mm]
und
$h = V / [mm] a^2$ [/mm] .
Jetzt setzt du das in deine Gleichung (*) ein:
[mm]k^2 = h^2 + d^2 = \left(\frac{V}{a^2}\right)^2 + \left(\sqrt{2}a\right)^2 = \frac{V^2}{a^4} + 2a^2[/mm]
und wir ziehen noch die Wurzel und schreiben das als Funktion...
[mm] k(a) = \sqrt{\frac{V^2}{a^4} + 2a^2}[/mm]
(Du hattest einmal Quadrieren vergessen bei deiner Zielfunktion.)
Wenn wir das jetzt ableiten schreiben wir die Wurzel besser als Potenz:
[mm] k'(a) = \sqrt{\frac{V^2}{a^4} + 2a^2}'= \left(\left(\frac{V^2}{a^4} + 2a^2\right)^{\frac{1}{2}}\right)'=
0,5*\left(\frac{V^2}{a^4} + 2a^2\right)^{-\frac{1}{2}}\left(-4 \frac{V^2}{a^5}+4a\right)=
0,5*\frac{-4 \frac{V^2}{a^5}+4a}{\sqrt{\frac{V^2}{a^4} + 2a^2}} [/mm]
Sieht ziemlich schlimm aus, muss uns aber nicht weiter stören, denn wir suchen ja Nullstellen dafür und da müssen wir nur den Zähler des Bruches betrachten:
[mm]0 = k'(a) = 0,5*\frac{-4 \frac{V^2}{a^5}+4a}{\sqrt{\frac{V^2}{a^4} + 2a^2}} [/mm]
[mm]\gdw 0 = -4 \frac{V^2}{a^5}+4a[/mm]
...
Was wir dann haben: das a ausgerechnet, bei dem die Raumdiagonale k minimal wird. Dann kannst du d durch die Beziehung $d = [mm] \sqrt{2}a$ [/mm] berechnen und k durch deine Zielfunktion und letztendlich auch h durch die Gleichung (*).
Vielleicht rechnest du jetzt mal selbst weiter... und stellst nochmal ne Frage wenn du nicht weiterkommst. Ich würd gern deine weitere Rechnung noch sehen. 
Gruß, Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo zusammen,
ich habe eben Hathorman eine PN diesbezüglich geschickt, leider ist er aber kurz vor meinem Absenden offline gegangen, so dass ich denke, ich korrigiere diesen Fehler schnell, denn je schneller, desto besser.
Also:
Bei der Ableitung ist bei Micha ein (sehr sehr kleiner ) Flüchtigkeitsfehler aufgetreten, er hat Folgendes notiert:
> [mm]k'(a) = \sqrt{\frac{V^2}{a^4} + 2a^2}= \left(\frac{V^2}{a^4} + 2a^2\right)^{\frac{1}{2}}=
0,5*\left(\frac{V^2}{a^4} + 2a^2\right)^{-\frac{1}{2}}(-\frac{1}{4} \frac{V^2}{a^5}+4a)[/mm]
Die Ableitung müsste so aussehen:
[mm]k'(a) = \sqrt{\frac{V^2}{a^4} + 2a^2}= \left(\frac{V^2}{a^4} + 2a^2\right)^{\frac{1}{2}}=
0,5*\left(\frac{V^2}{a^4} + 2a^2\right)^{-\frac{1}{2}}(-4* \frac{V^2}{a^5}+4a)[/mm]
Nur, damit man am Ende auch auf das gewünschte Ergebnis kommt. Der Rest von Michas Überlegungen geht dann analog und man erhält:
[m]k'(a)=0
\gdw
V^2=a^6[/m]
und damit den "gewünschten" Würfel.
Viele Grüsse
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:25 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Micha |
Fehler im ursprünglichen Antwortartikel inzwischen ausgebessert!
Danke nochmal an Marcel!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 So 19.09.2004 | | Autor: | vogel |
sorry, das ich nicht geantwortet hab, aber ich hatte am wochenende viel zu tun.
hab die aufgabe jezz gelöst...
danke für die hilfe !
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