quadr. Pyramide: orth. Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 So 07.09.2008 | | Autor: | krueemel |
| Aufgabe | Gegeben ist die quadratische Pyramide von Fig. 1.
a) Eine Ebene E geht durch die Mittelpunkte der Kanten SB und SC und ist orthogonal zur Seitenfläche BCS. Bestimmen Sie eine Gleichung von E.
b) Eine zweite Ebene F geht durch die Mittelpunkte der Kanten SA und SB und ist orthogonal zur Seitenfläche ABS. Bestimmen Sie eine Gleichung F. |
Hallo,
ich brauche Hilfe zum Aufgabenteil a).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Als Ansatz habe ich mir überlegt:
Zuerst stelle ich die Ebene BCS auf, errechnen dann den Normalenvektor, errechne dann einen, der orthogonal zu diesem ist, und erhalte Ebene E.
Doch leider komme ich dort nicht weiter.
Meine Rechnungen:
Ebene BCS:
E: [mm] \vektor{6 \\ 6 \\ 0} [/mm] + r* [mm] \vektor{-6 \\ 0 \\ 0} [/mm] + s * [mm] \vektor{-3 \\ -3 \\ 0}
[/mm]
Ist das soweit richtig, aber danach kommen bie mir nur flasche Lösungen, zumindest das, was ich mit meinen Freunden verglichen habe.
Liebe Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 So 07.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Deine Ebene stimmt leider nicht, das kann man schon am Aufpunkt sehen. Nach deiner Ebenengleichung müsste ja der Punkt B(6|6|0) auf der Ebene liegen, aber nach dem Schaubild tut er das ja auf alle Fälle nicht! Als Aufpunkt könntest du die Mitte von BS oder CS nehmen.
Die Spannvektoren stimmen leider auch nicht. Die Ebene, die du da gebildet hast, wäre parallel zur x-y-Ebene, also auch parallel zur Grundfläche der Pyramide, weil die z-Komponenten deiner Spannvektoren beide 0 sind und die Punkte der Ebene somit keine anderen z-Werte annehmen können.
Am besten du schreibst erstmal auf, was du dir gedacht hast, oder eventuell neue Lösungsvorschläge!
Damit du nicht ganz so viel Arbeit hast, sage ich dir, dass du deinen 1. Spannvektor trotzdem nehmen kannst :)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 So 07.09.2008 | | Autor: | krueemel |
also, ich weiß nicht, ob du mich richtig verstanden hast, hier mein (neuer) Lösungsweg:
1. Aufstellen der Ebene BCS!
2. Dessen Normalenvektor muss orthogonal sein von des der Ebene E
3. Mittelpunkt von BS = b + 1/2(bs)
Rechnungen:
Ebene BCS:
[x-(6|6|0)]*(0|4|2) = 0
Ebene E:
[x-(4,5|4,5|3)] * (2|-1|2) = 0
richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 So 07.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Ah ok, ich dachte du meintest schon die gesuchte Ebene E! Bei (BCS) jmusst du dir nochmal den 2. Spannvektor nur angucken!
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 So 07.09.2008 | | Autor: | krueemel |
ich habe doch gar keine 2 Spannvektoren mehr? Ich habe dir die Lösung in der Normalenform gegeben, empfand ich einfacher. ist diese richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 So 07.09.2008 | | Autor: | Teufel |
(BCS) ist richtig, bei der Ebene E stimmt der Normalenvektor nicht! Die x-Komponente um genau zu sein.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 So 07.09.2008 | | Autor: | krueemel |
aber, da die x1-komponente von Noramelnvektor (bcs) ja 0 ist, kann die x1-komponente des Normaelvektros (von E) ja beliebig sein, oder irre ich mich da?
Die gegenprobe stimmt auch, dass das Sklarprodukt der beiden Normalenvektoren 0 ergibt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 So 07.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Nein, die kann nicht beliebig sein! Das Skalarprodukt wird zwar 0, aber nur, weil der Normalenvektor von BCS den Fehler neutralisiert :) Du kannst ja mal Dem Mittelpunkt von CS in die Ebene einsetzen, er wird nicht drauf liegen!
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 So 07.09.2008 | | Autor: | krueemel |
tut mir leid, ich versteh nicht, wo ich den Fehler gemacht habe,
zum Aufstellen der Ebenengleichung von BCS bin ich wie folgt vorgegangen:
Stützvektor: b (6|6|0)
Spannvektoren: bc (-6|0|0) und bs (-3|-3|6)
nun habe ich den Vektor n (n1|n2|n3) wie folgt ausgerechnet:
1. (n1|n2|n3)*(-6|0|0)=0
2. (n1|n2|n3)*(-3|-3|6)=0
beides gleichgesetzt und ich habe folgendes errechnet:
n1 = 0
n2 = 2*x
n3 = x
wo ist der Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 So 07.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Mit BCS ist alles super, nur der Normalenvektor von E stimmt nicht!
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 So 07.09.2008 | | Autor: | krueemel |
sag mir doch die richtige lösung, ich habe die Probe gemacht, der Taschenrechner sagt, der Punkt liegt auf der Geraden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 So 07.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Hm, ich weiß nicht, was du da machst :/
Wie bist du denn auf den Normalenvektor für E gekommen?
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 So 07.09.2008 | | Autor: | krueemel |
habe ich alles schon erklärt..
Normalenvektor von E:
dieser muss orthogonal zu 0|4|2 sein.. es folgt:
( 0 4 2 ) * (n1 n2 n3) = 0
-->
n1 = n1
n2 = -n3/2
n3 = n3
und zum Normalenvektor bei BCS kam raus:
n1 = 0
n2 = 2*x
n3 = x
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 So 07.09.2008 | | Autor: | Teufel |
So hast du das noch nicht erklärt ;) Aber na ja, mit dem Verfahren kriegst du ja sozusagen unendlich viele Normalenvektoren raus, aber nicht alle davon sind richtig.
Ich würde E erstmal in Parameterform aufstellen. Als Aufpunkt nimmst du einen der 2 Streckenmittelpunkte, der 1. Spannvektor ist der Vektor zwischen den beiden Streckenmittelpunkten und der 2. Spannvektor ist der Normalenvektor von BCS. Aus den beiden kannst du dann den Normalenvektor von E bestimmen.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 So 07.09.2008 | | Autor: | krueemel |
Als
> Aufpunkt nimmst du einen der 2 Streckenmittelpunkte, der 1.
> Spannvektor ist der Vektor zwischen den beiden
> Streckenmittelpunkten und der 2. Spannvektor ist der
> Normalenvektor von BCS. Aus den beiden kannst du dann den
> Normalenvektor von E bestimmen.
>
> Teufel
Warum nicht als Aufpunkt B, C oder S?
und warum ein Normalenvektor von BCS? Wie meinst du das überhaupt?
Dann kann man doch als beide spannvektoren folgendes nehmen:
cb und bs?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 So 07.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Die Ebene BCS hast du doch schon! Die war ja auch richtig. Nur die gesuchte Ebene E stimmte nicht! Mir kommt es nur grad so vor, als wenn für dich BCS und E die selben Ebenen wären... Wenn ja, dann lies dir am besten nochmal alles durch :) Ich meine mit E immer die gesuchte Ebene, die durch die Mittelpunkte der 2 Seiten da geht! Wie in deiner Skizze da eben. Und diese enthält ja auch weder B, C noch S.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:36 Mo 08.09.2008 | | Autor: | krueemel |
ja ich meine mit E und BCS genau dasselbe wie du, nur du hast dich nicht so glücklich ausgedrückt, jetzt versteh ich was du meinst.
ich rechne es später mal aus..
liebe grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Mo 08.09.2008 | | Autor: | krueemel |
meine Lösung nun in Parameterform:
E: [mm] \vektor{4,5 \\ 4,5 \\ 3} [/mm] + [mm] r*\vektor{0 \\ 0 \\ 55} [/mm] + [mm] s*\vektor{-3 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Ne, die Ebene wäre parallel zur x-z-Ebene!
Deine Ebene E braucht als Spannvektoren einmal [mm] \overrightarrow{M_1M_2} [/mm] (wobei das die Seitenmittelpunkt sind) und den Normalenvektor der Ebene BCS.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mo 08.09.2008 | | Autor: | krueemel |
ich bin genauso vorgegangen, wie du es gesagt hast:
Strecke [mm] \overrightarrow{M1M2} [/mm] hat folgenden Vektor:
[mm] \vektor{-3 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
und der Normalenvektor zu BCS lautet:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ x}
[/mm]
somit ist die Gleichung wie im Post zuvor geschrieben.
Oder nicht?
Wie ist das mit b)?
Ist das richtig?
F: [mm] \vektor{4,5 \\ 1,5 \\ 3} [/mm] + [mm] r*\vektor{0 \\ 3 \\ 0} [/mm] + [mm] s*\vektor{10 \\ 0 \\ 5}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Der Normalenvektor von BCS ist aber nicht [mm] \vektor{0\\0\\x}!
[/mm]
Du hast den doch schon richtig ausgerechnet.
Zitat:
"Rechnungen:
Ebene BCS:
[x-(6|6|0)]*(0|4|2) = 0 "
b) stimmt übrigens!
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 Mo 08.09.2008 | | Autor: | krueemel |
alles klar. Alles gelöst, hatte einen kleiner Fehler drin.
Hätten uns viel Text gespart, hätten wir nicht aneinander vorbei geredet ;)
liebe grüße
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