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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Di 05.10.2004 | | Autor: | Aeris |
Hallo.
Ich habe hier 2 Kreisgleichungen mit den Koordinaten des Schnittpunktes (x(K) und y(K)) als Unbekannte:
[mm] r(1)^{2}=(x(K)-x(M1))^{2}+(y(K)-y(M1))^{2}
[/mm]
[mm] r(2)^{2}=(x(K)-x(M2))^{2}+(y(K)-y(M2))^{2}
[/mm]
Die Radien bzw. Koordinaten der Kreismittelpunkte sind bekannt.
Jetzt hätte ich gerne 2 Gleichungen, mit denen ich x(K) und y(K) direkt ausrechnen kann, aber wenn ich versuche, das Gleichungssystem umzustellen, kriege ich 2-fach quadratische Lösungsansätze und komme nicht mehr weiter. Gibt es da noch einen anderen Weg als umstellen und einsetzen?
Schonmal vielen Dank für die Hilfe,
Frank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Frank!
Du kannst eine Drehung, gefolgt von einer Verschiebung (oder umgekehrt) der Koordinaten durchführen. Zum Beispiel so, dass der eine Mittelpunkt im Koordinatenursprung fällt und der andere auf der x-Achse.
Das Ganze ist trozdem ziemlich übel.
[mm]
\left(
\begin{matrix}
x^{\prime} \\ y^{\prime}
\end{matrix}
\right)
=
\left(
\begin{matrix}
\cos\varphi & \sin\varphi \\
-\sin\varphi & \cos\varphi
\end{matrix}
\right)
\cdot
\left(
\begin{matrix}
x \\ y
\end{matrix}
\right)
+
\left(
\begin{matrix}
a \\ b
\end{matrix}
\right)
[/mm]
[mm]\varphi ,\ a ,\ b[/mm] müssen geignet gewählt werden. Eine allgemeine Formel die solche Aufgaben löst, kenne ich nicht.
Schöne Grüße, 
Ladis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Fr 08.10.2004 | | Autor: | noebi |
Ist zwar zu spät, aber vielleicht hilfts jemand anderen:
Im Grunde hat man das Gleichungssystem
(I) [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] b_1 [/mm] y + [mm] c_1 [/mm] = 0
(II) [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] x + [mm] b_2 [/mm] y + [mm] c_2 [/mm] = 0
Man zieht dann Gleichung (II) von Gleichung (I) ab und erhält:
[mm] (a_1 [/mm] - [mm] a_2) [/mm] x + [mm] (b_1 [/mm] - [mm] b_2) [/mm] y + [mm] c_1 [/mm] - [mm] c_2 [/mm] = 0
Also: x = [mm] \bruch{(b_2 - b_1) y - c_1 + c_2}{a_1 - a_2} [/mm] (*)
Dieses x kann man dann in Gleichung (I) oder (II) einsetzen und man erhält eine quadratische Gleichung der Art:
A [mm] y^2 [/mm] + B y + C = 0
Die beiden Lösungen für y kann man schließlich in (*) einsetzen und es folgen daraus die Lösungen für x.
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