quad. Betragsungleichung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Fr 17.09.2010 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | | Lösen Sie folgende Betragsungleichung [mm] $\left| \bruch{2x}{1-x^2} \right|<1$ [/mm] |
Boar ich versteh die Welt nicht mehr...
Irgendwie bin ich zu blöd auf eine gescheite Lösung zu kommen und ich weiß einfach nicht woran es liegt.
Ich zeige euch einfach mal was ich gemacht habe und hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
[mm] $\left| \bruch{2x}{1-x^2} \right|<1 =\bruch{\left| 2x \right|}{\left| 1-x^2 \right|}<1$
[/mm]
Ich habe dann vier Fallunterscheidungen gemacht.
1. Fall: $2x>0 [mm] \wedge 1-x^2>0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] x>0 [mm] \wedge [/mm] x<1$
[mm] $\bruch{2x}{1-x^2}<1$
[/mm]
Das ganze dann nach x aufgelöst und ich komme auf folgenden Intervall für x:
$x=]-2,41 ; 0,41[$
Betrachtet man jetzt das Kriterium des 1. Falls kommt man auf folgende Lösungsmenge:
[mm] $\IL_1={0
2. Fall: $2x<0 [mm] \wedge 1-x^2>0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] x<0 [mm] \wedge [/mm] x<1$
$x=]-0,41 ; 2,41[$
[mm] $\IL_2={-0,41
3. Fall: $2x>0 [mm] \wedge 1-x^2<0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] x>0 [mm] \wedge [/mm] x<1$
[mm] $x=]-\infty [/mm] ; [mm] +\infty[$
[/mm]
[mm] $\IL_3={0
4. Fall: $2x<0 [mm] \wedge 1-x^2<0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] x<0 [mm] \wedge [/mm] x>1$
$x=]-2,41 ; 0,41[$
[mm] $\IL_4=\emptyset$
[/mm]
Betrachte ich nun die gesamte Lösungsmenge komme ich lediglich auf:
[mm] $\IL_{ges}={-0,41
Ich habe die Funktion folglich einfach mal in einen Funktionsplotter geschmissen und gesehen dass dieser Intervall definitiv richtig ist.
Allerdings fehlt da noch etwas.
Nämlich stimmt die Ungleichung für [mm] $-\infty
Allerdings komme ich rechnerisch nicht darauf...
Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Danke.
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Hi, bOerny,
> Lösen Sie folgende Betragsungleichung [mm]\left| \bruch{2x}{1-x^2} \right|<1[/mm]
>
> Boar ich versteh die Welt nicht mehr...
> Irgendwie bin ich zu blöd auf eine gescheite Lösung zu
> kommen und ich weiß einfach nicht woran es liegt.
>
> Ich zeige euch einfach mal was ich gemacht habe und hoffe,
> dass ihr mir helfen könnt.
> [mm]\left| \bruch{2x}{1-x^2} \right|<1 =\bruch{\left| 2x \right|}{\left| 1-x^2 \right|}<1[/mm]
>
> Ich habe dann vier Fallunterscheidungen gemacht.
>
> 1. Fall: [mm]2x>0 \wedge 1-x^2>0[/mm]
> [mm]\gdw x>0 \wedge x<1[/mm]
Schon mal falsch! Die quadr.Ung. 1 - [mm] x^{2} [/mm] < 0 hat als Lösung die Ungleichung -1 < x < 1.
Zudem bin ich leicht verwundert, dass Du x=0 nicht gleich mit hinzunimmst!
> [mm]\bruch{2x}{1-x^2}<1[/mm]
> Das ganze dann nach x aufgelöst und ich komme auf
> folgenden Intervall für x:
> [mm]x=]-2,41 ; 0,41[[/mm] (***)
> Betrachtet man jetzt das Kriterium des
> 1. Falls kommt man auf folgende Lösungsmenge:
Komische Vorgehensweise! Das Kriterium muss doch SOFORT beim Lösen berücksichtigt werden!Aber auch wenn Du's nicht tust, musst Du zumindest die Nenner-Nullstellen bei (***) rausnehmen!
> [mm]\IL_1=\{ 0
Trotz obigem Fehler richtige Lösungsmenge! (Glück gehabt!)
> 2. Fall: [mm]2x<0 \wedge 1-x^2>0[/mm]
> [mm]\gdw x<0 \wedge x<1[/mm]
Analog zu oben: -1 < x < 1.
Und wie willst Du nun mit x=0 verfahren?! Du nimmst's ja auch hier nicht hinzu!
> [mm]\IL_2=\{ -0,41
>
> 3. Fall: [mm]2x>0 \wedge 1-x^2<0[/mm]
> [mm]\gdw x>0 \wedge x<1[/mm]
Das ist ja nun gleich "oberfalsch"!
Wenn 1 - [mm] x^{2} [/mm] > 0 bei Dir (fälschlicher Weise) x < 1 ergibt, kann's hier doch nicht auch noch stimmen!
Richtig wäre: 1 - [mm] x^{2} [/mm] <=> x < - 1 [mm]\vee [/mm] x > +1
Mit x [mm]\geq [/mm] 0 folgt daraus dann: x > 1
> [mm]x=]-\infty ; +\infty[[/mm]
> [mm]\IL_3={0
Das musst Du nun völlig neu berechnen!
> 4. Fall: [mm]2x<0 \wedge 1-x^2<0[/mm]
> [mm]\gdw x<0 \wedge x>1[/mm]
Da wäre ja die Bedingung bereits unmöglich (Zahlen, die zugleich negativ UND größer als +1 sind?!?)
Aber:
Analog oben ergibt sich aus x < - 1 [mm]\vee [/mm] x > +1
zusammen mit x [mm]\leq [/mm] 0 insgesamt die Bedingung: x < -1
> [mm]x=]-2,41 ; 0,41[[/mm]
> [mm]\IL_4=\emptyset[/mm]
Wieder: Nochmals nachrechnen!
> Betrachte ich nun die gesamte Lösungsmenge komme ich
> lediglich auf:
>
> [mm]\IL_{ges}={-0,41
Wie hast Du x=0 da noch "reingemogelt"? In Deinen verschiedenen Lösungsmengen ist die nicht dabei!
> Ich habe die Funktion folglich einfach mal in einen
> Funktionsplotter geschmissen und gesehen dass dieser
> Intervall definitiv richtig ist.
> Allerdings fehlt da noch etwas.
> Nämlich stimmt die Ungleichung für [mm]-\infty
> für [mm]2,41
Probier's mal mit meinen Hinweisen!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 So 19.09.2010 | | Autor: | bOernY |
Wie bereits ersichtlich war war die bisherige Bearbeitung der Aufgabe irgendwie mehr als fehlgeschlagen.
Diesmal habe ich es nocheinmal versucht, allerdings komme ich immernoch nicht auf das gesamte Ergebnis.
Diesmal habe ich nur zwei Fallunterscheidungen gemacht.
Vorher erstmal die Definitionslücken beachtet. Diese sind bei $x=-1$ und $x=+1$
1. Fall: [mm] $\bruch{2x}{1-x^2}\ge0$
[/mm]
Also folgt:
[mm] $\bruch{2x}{1-x^2}<1$
[/mm]
[mm] $2x<1-x^2$
[/mm]
[mm] $(x+1)^2 [/mm] - 2 < 0$
[mm] $(x+1+\wurzel{2})*(x+1-\wurzel{2})<0$
[/mm]
[mm] $(x+1+\wurzel{2}) [/mm] > 0 [mm] \wedge (x+1-\wurzel{2}) [/mm] < 0 [mm] \vee (x+1+\wurzel{2}) [/mm] < 0 [mm] \wedge (x+1-\wurzel{2}) [/mm] > 0$
$x>-2,41 [mm] \wedge [/mm] x<0,41 [mm] \vee [/mm] x<-2,41 [mm] \wedge [/mm] x>0,41$
Daraus lässt sich folgende Teillösungsmenge ablesen:
[mm] $\IL_1=\left\{ x\in\IR ; -2,41 < x < 0,41 \right\}$
[/mm]
So jetzt zum zweiten Fall:
2. Fall: 1. Fall: [mm] $\bruch{2x}{1-x^2}\le0$
[/mm]
Also folgt:
[mm] $-\bruch{2x}{1-x^2}<1$
[/mm]
[mm] $2x>-1+x^2$
[/mm]
[mm] $(x-1)^2 [/mm] - 2 < 0$
[mm] $(x-1+\wurzel{2})*(x-1-\wurzel{2})<0$
[/mm]
[mm] $(x-1-\wurzel{2}) [/mm] < 0 [mm] \wedge (x-1+\wurzel{2}) [/mm] > 0 [mm] \vee (x-1-\wurzel{2}) [/mm] > 0 [mm] \wedge (x-1+\wurzel{2}) [/mm] < 0$
$x<2,41 [mm] \wedge [/mm] x>-0,41 [mm] \vee [/mm] x>2,41 [mm] \wedge [/mm] x<-0,41$
Daraus lässt sich folgende Teillösungsmenge ablesen:
[mm] $\IL_2=\left\{ x\in\IR ; -0,41 < x < 2,41 \right\}$
[/mm]
Also folgt:
[mm] $\IL_1 \cap \IL_2 [/mm] = [mm] \IL_{gesamt}=\left\{ x\in\IR ; -0,41 < x < 0,41 \right\}$
[/mm]
Laut Plotter fehlen mir trotzdem noch die beiden Intervalle die bei grob geschätzten -2,5 und +2,5 starten und ins positive/negative Unendliche laufen.
Ich komme aber rechnerisch immernoch nicht drauf.
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> Wie bereits ersichtlich war war die bisherige Bearbeitung
> der Aufgabe irgendwie mehr als fehlgeschlagen.
> Diesmal habe ich es nocheinmal versucht, allerdings komme
> ich immernoch nicht auf das gesamte Ergebnis.
>
> Diesmal habe ich nur zwei Fallunterscheidungen gemacht.
>
> Vorher erstmal die Definitionslücken beachtet. Diese sind
> bei [mm]x=-1[/mm] und [mm]x=+1[/mm]
>
> 1. Fall: [mm]\bruch{2x}{1-x^2}\ge0[/mm]
>
> Also folgt:
> [mm]\bruch{2x}{1-x^2}<1[/mm]
> [mm]2x<1-x^2[/mm]
> [mm](x+1)^2 - 2 < 0[/mm]
> [mm](x+1+\wurzel{2})*(x+1-\wurzel{2})<0[/mm]
> [mm](x+1+\wurzel{2}) > 0 \wedge (x+1-\wurzel{2}) < 0 \vee (x+1+\wurzel{2}) < 0 \wedge (x+1-\wurzel{2}) > 0[/mm]
>
> [mm]x>-2,41 \wedge x<0,41 \vee x<-2,41 \wedge x>0,41[/mm]
>
> Daraus lässt sich folgende Teillösungsmenge ablesen:
> [mm]\IL_1=\left\{ x\in\IR ; -2,41 < x < 0,41 \right\}[/mm]
>
> So jetzt zum zweiten Fall:
>
> 2. Fall: 1. Fall: [mm]\bruch{2x}{1-x^2}\le0[/mm]
>
> Also folgt:
bei ungleichungen darfst du dich nicht auf folgerungen einlassen, sonst kriegst du ja nie das richtige raus
nur weil dein bruch oben "angenommenerweise" positiv ist, darfst du hier nicht einfach mit dem nenner multiplizieren und hoffen, dass er auch positiv ist.. denn als beispiel könnte der zähler negativ sein, der nenner auch, und somit wär er als gesamter bruch positiv und würde die vorrausezung für den fall erfüllen; das relationszeichen danach wäre aber falsch.
mein vorschlag:
trenne die beträge in zähler und nenner auf (wie in deinem ersten post) und rechne nochmal ordentlich vor.. denn das hier gibt eher nichts
> [mm]-\bruch{2x}{1-x^2}<1[/mm]
> [mm]2x>-1+x^2[/mm]
> [mm](x-1)^2 - 2 < 0[/mm]
> [mm](x-1+\wurzel{2})*(x-1-\wurzel{2})<0[/mm]
> [mm](x-1-\wurzel{2}) < 0 \wedge (x-1+\wurzel{2}) > 0 \vee (x-1-\wurzel{2}) > 0 \wedge (x-1+\wurzel{2}) < 0[/mm]
>
> [mm]x<2,41 \wedge x>-0,41 \vee x>2,41 \wedge x<-0,41[/mm]
>
> Daraus lässt sich folgende Teillösungsmenge ablesen:
> [mm]\IL_2=\left\{ x\in\IR ; -0,41 < x < 2,41 \right\}[/mm]
>
> Also folgt:
> [mm]\IL_1 \cap \IL_2 = \IL_{gesamt}=\left\{ x\in\IR ; -0,41 < x < 0,41 \right\}[/mm]
>
> Laut Plotter fehlen mir trotzdem noch die beiden Intervalle
> die bei grob geschätzten -2,5 und +2,5 starten und ins
> positive/negative Unendliche laufen.
> Ich komme aber rechnerisch immernoch nicht drauf.
>
>
>
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 So 19.09.2010 | | Autor: | bOernY |
So langsam habe ich echt keine Lust mehr auf diese Aufgabe...
Also ich habe es jetzt nochmal mit 4 Fallunterscheidungen gemacht und komme immernoch nicht auf das Ergebnis, was der Plotter mir anzeigt.
Ich habe so langsam das Gefühl, dass der Funktionsplotter mich verarscht...
1. Fall: $ 2x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge 1-x^2 \ge [/mm] 0$
$ [mm] \bruch{2x}{1-x^2}<1 [/mm] $
$ [mm] 2x<1-x^2 [/mm] $
$ [mm] (x+1)^2 [/mm] - 2 < 0 $
$ [mm] (x+1+\wurzel{2})\cdot{}(x+1-\wurzel{2})<0 [/mm] $
$ [mm] (x+1+\wurzel{2}) [/mm] > 0 [mm] \wedge (x+1-\wurzel{2}) [/mm] < 0 [mm] \vee (x+1+\wurzel{2}) [/mm] < 0 [mm] \wedge (x+1-\wurzel{2}) [/mm] > 0 $
$ x>-2,41 [mm] \wedge [/mm] x<0,41 [mm] \vee [/mm] x<-2,41 [mm] \wedge [/mm] x>0,41 $
$ [mm] \IL_1=\left\{ x\in\IR ; -2,41 < x < 0,41 \right\} [/mm] $
2. Fall: $ 2x [mm] \le [/mm] 0 [mm] \wedge 1-x^2 \ge [/mm] 0$
$ [mm] \bruch{-2x}{1-x^2}<1 [/mm] $
$ [mm] 2x>-1+x^2 [/mm] $
$ [mm] (x-1)^2 [/mm] - 2 < 0 $
$ [mm] (x-1+\wurzel{2})\cdot{}(x-1-\wurzel{2})<0 [/mm] $
$ [mm] (x-1-\wurzel{2}) [/mm] < 0 [mm] \wedge (x-1+\wurzel{2}) [/mm] > 0 [mm] \vee (x-1-\wurzel{2}) [/mm] > 0 [mm] \wedge (x-1+\wurzel{2}) [/mm] < 0 $
$ x<2,41 [mm] \wedge [/mm] x>-0,41 [mm] \vee [/mm] x>2,41 [mm] \wedge [/mm] x<-0,41 $
$ [mm] \IL_2=\left\{ x\in\IR ; -0,41 < x < 2,41 \right\} [/mm] $
3. Fall: $ 2x [mm] \le [/mm] 0 [mm] \wedge 1-x^2 \le [/mm] 0$
$ [mm] \bruch{-2x}{-(1-x^2)}<1 [/mm] $
[mm] $-2x>-(1-x^2)$ [/mm] (Das Relationszeichen dreht sich um, da ich mit [mm] $-(1-x^2)$ [/mm] multipliziert habe)
[mm] $2x<1-x^2$
[/mm]
Genau dieser Ausdruck taucht auch in Fall 1 auf!
Somit spare ich mir den Rest, da die Lösungsmenge die selbe sein wird wie im ersten Fall.
3. Fall: $ 2x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge 1-x^2 \le [/mm] 0$
$ [mm] \bruch{2x}{-(1-x^2)}<1 [/mm] $
[mm] $2x>-(1-x^2)$ [/mm]
[mm] $-2x<1-x^2
[/mm]
[mm] $x^2-2x<1$
[/mm]
[mm] $(x-1)^2-2<0$
[/mm]
Und auch hier findet man genau diesen Ausdruck im 2. Fall wieder.
Also auch hier ist die Lösungsmenge analog zum Fall 2!
Desweiteren komme ich immernoch auf folgende Lösungsmenge:
$ [mm] \IL_{gesamt}=\left\{ x\in\IR ; -0,41 < x < 0,41 \right\} [/mm] $
So langsam verzweifel ich... Wo liegt denn jetzt endlich der Hund begraben?
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Hallo bOernY,
> So langsam habe ich echt keine Lust mehr auf diese
> Aufgabe...
>
> Also ich habe es jetzt nochmal mit 4 Fallunterscheidungen
> gemacht und komme immernoch nicht auf das Ergebnis, was der
> Plotter mir anzeigt.
> Ich habe so langsam das Gefühl, dass der Funktionsplotter
> mich verarscht...
>
> 1. Fall: [mm]2x \ge 0 \wedge 1-x^2 \ge 0[/mm]
>
> [mm]\bruch{2x}{1-x^2}<1[/mm]
> [mm]2x<1-x^2[/mm]
> [mm](x+1)^2 - 2 < 0[/mm]
>
> [mm](x+1+\wurzel{2})\cdot{}(x+1-\wurzel{2})<0[/mm]
> [mm](x+1+\wurzel{2}) > 0 \wedge (x+1-\wurzel{2}) < 0 \vee (x+1+\wurzel{2}) < 0 \wedge (x+1-\wurzel{2}) > 0[/mm]
>
> [mm]x>-2,41 \wedge x<0,41 \vee x<-2,41 \wedge x>0,41[/mm]
>
> [mm]\IL_1=\left\{ x\in\IR ; -2,41 < x < 0,41 \right\}[/mm]
Hier mußt Du noch die Bedingungen [mm]2x \ge 0 \wedge 1-x^2 \ge 0[/mm] berücksichtigen.
>
> 2. Fall: [mm]2x \le 0 \wedge 1-x^2 \ge 0[/mm]
>
> [mm]\bruch{-2x}{1-x^2}<1[/mm]
> [mm]2x>-1+x^2[/mm]
> [mm](x-1)^2 - 2 < 0[/mm]
>
> [mm](x-1+\wurzel{2})\cdot{}(x-1-\wurzel{2})<0[/mm]
> [mm](x-1-\wurzel{2}) < 0 \wedge (x-1+\wurzel{2}) > 0 \vee (x-1-\wurzel{2}) > 0 \wedge (x-1+\wurzel{2}) < 0[/mm]
>
> [mm]x<2,41 \wedge x>-0,41 \vee x>2,41 \wedge x<-0,41[/mm]
>
> [mm]\IL_2=\left\{ x\in\IR ; -0,41 < x < 2,41 \right\}[/mm]
Hier mußt Du noch die Bedingungen [mm]2x \le 0 \wedge 1-x^2 \ge 0[/mm] berücksichtigen.
>
> 3. Fall: [mm]2x \le 0 \wedge 1-x^2 \le 0[/mm]
>
> [mm]\bruch{-2x}{-(1-x^2)}<1[/mm]
> [mm]-2x>-(1-x^2)[/mm] (Das Relationszeichen dreht sich um, da ich
> mit [mm]-(1-x^2)[/mm] multipliziert habe)
> [mm]2x<1-x^2[/mm]
>
> Genau dieser Ausdruck taucht auch in Fall 1 auf!
> Somit spare ich mir den Rest, da die Lösungsmenge die
> selbe sein wird wie im ersten Fall.
Nein, da [mm]x \le 0 \wedge x < -1[/mm]
>
> 3. Fall: [mm]2x \ge 0 \wedge 1-x^2 \le 0[/mm]
>
> [mm]\bruch{2x}{-(1-x^2)}<1[/mm]
> [mm]2x>-(1-x^2)[/mm]
> [mm]$-2x<1-x^2[/mm]
> [mm]x^2-2x<1[/mm]
> [mm](x-1)^2-2<0[/mm]
>
> Und auch hier findet man genau diesen Ausdruck im 2. Fall
> wieder.
> Also auch hier ist die Lösungsmenge analog zum Fall 2!
Nein, da [mm]x \ge 0 \wedge x > 1[/mm]
>
> Desweiteren komme ich immernoch auf folgende
> Lösungsmenge:
> [mm]\IL_{gesamt}=\left\{ x\in\IR ; -0,41 < x < 0,41 \right\}[/mm]
>
> So langsam verzweifel ich... Wo liegt denn jetzt endlich
> der Hund begraben?
Der Hund liegt im Fall 3 und 4 begraben.
Gruss
MathePower
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