punktweise und glm. Konvergenz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Di 28.10.2008 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Bestimme für die Funktionenfolgen [mm] {f_{k}} [/mm] und [mm] {g_{k}} [/mm] jeweils den Grenzwert bezüglich punktweiser Konvergenz und entscheide, ob sie gleichmäßig konvergieren:
[mm] $f_{k}:\IR\to\IR$ $x\mapsto\wurzel[]{x^{2}+\bruch{1}{k}}$
[/mm]
[mm] $g_{k}:\IR\to\IR$ $x\mapsto \summe_{j=0}^{k}\bruch{1}{j!}x^{j}$
[/mm]
|
Hallo,
bei dem ersten Teil der Aufgabe: die Funktionenfolge konvergiert punktweise gdw. sie normal konvergiert für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Wählen wir ein [mm] x_{0} [/mm] aus. Dann strebt diese Folge gegen [mm] \pm x_{0}.
[/mm]
Z.B. sei [mm] x_{0}=(-3) [/mm] , dann folgt, dass diese Folge [mm] \wurzel[]{(-3)^{2}+\bruch{1}{k}} [/mm] gegen [mm] \pm x_{0} [/mm] konvergiert. Das würde aber 2 mögliche Grenzfunktionen ergeben, was natürlich nicht erlaubt ist.
Was meint ihr dazu?
Gruss
Igor
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Di 28.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Bestimme für die Funktionenfolgen [mm]{f_{k}}[/mm] und [mm]{g_{k}}[/mm]
> jeweils den Grenzwert bezüglich punktweiser Konvergenz und
> entscheide, ob sie gleichmäßig konvergieren:
> [mm]f_{k}:\IR\to\IR[/mm] [mm]x\mapsto\wurzel[]{x^{2}+\bruch{1}{k}}[/mm]
> [mm]g_{k}:\IR\to\IR[/mm] [mm]x\mapsto \summe_{j=0}^{k}\bruch{1}{j!}x^{j}[/mm]
>
> Hallo,
>
> bei dem ersten Teil der Aufgabe: die Funktionenfolge
> konvergiert punktweise gdw. sie normal konvergiert für alle
> x [mm]\in \IR.[/mm]
> Wählen wir ein [mm]x_{0}[/mm] aus. Dann strebt diese
> Folge gegen [mm]\pm x_{0}.[/mm]
> Z.B. sei [mm]x_{0}=(-3)[/mm] , dann folgt,
> dass diese Folge [mm]\wurzel[]{(-3)^{2}+\bruch{1}{k}}[/mm] gegen [mm]\pm x_{0}[/mm]
> konvergiert. Das würde aber 2 mögliche Grenzfunktionen
> ergeben, was natürlich nicht erlaubt ist.
>
> Was meint ihr dazu?
Nein. Die Quadratwurzel einer Zahl [mm] $r\in\IR$ [/mm] ist eindeutig definiert als diejenige positive Zahl [mm] $s\in\IR$ [/mm] mit [mm] $s^2=r$.
[/mm]
Die Grenzfunktion ist jedenfalls eindeutig bestimmt, die Frage ist die gleichmäßige Konvergenz.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Di 28.10.2008 | | Autor: | Igor1 |
Wollen wir z.B die Wurzel von 4 berechnen , dann wäre r=4
und [mm] s^{2}=4. [/mm] Jedoch, hier kommen zwei Werte für s in Frage 2 und -2, denn [mm] 2^{2}=4 [/mm] und [mm] (-2)^{2}=4 [/mm] auch.
Oder nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Di 28.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Deshalb definiert man ja auch die Wurzel also diejenige positive Zahl mit [mm] $s^2=r$. [/mm] Die Lösungen der Gleichung [mm] $x^2=a$ [/mm] lauten [mm] $\sqrt{a}$ [/mm] und [mm] $-\sqrt{a}$.
[/mm]
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
für die erste Funktionenfolge habe ich einen Ansatz über die [mm] \varepsilon [/mm] -Definition der gleichmäßigen Konvergenz gefunden.
Wie geht man eigentlich mit den Partialsummen der Exponentialreihe [mm] (g_{k}) [/mm] vor?
Ich habe gehört, dass sie nicht gleichmäßig auf [mm] \IR [/mm] konvergiert.
Mit welchem Ansatz kann man das zeigen?
Ich brauche einen Tipp, eine Starthilfe.
Gruss
Igor
|
|
|
| |
|
> Wie geht man eigentlich mit den Partialsummen der
> Exponentialreihe [mm](g_{k})[/mm] vor?
> Ich habe gehört, dass sie nicht gleichmäßig auf [mm]\IR[/mm]
> konvergiert.
Hallo,
wenn ich hier einmal durchs Dorf gehe, höre ich auch so viel...
Ich habe gehört, daß die Partialsummen der Exponentialsumme gleichmäßig konvergieren.
Wie man das zeigt, hängt auch ein wenig davon ab, was einem zur Verfügung steht.
Ich würde den Konvergenzradius bestimmen und eine Eigenschaft der Potenzreihen verwenden.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:59 Do 30.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Die Exponentialfunktion konvergiert auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] nicht gleichmäßig, sondern nur auf jeder beschränkten Teilmenge von [mm] $\IR$, [/mm] denn diese liegt jedenfalls vollständig im Konvergenzradius, wie Angela schon angedeutet hat.
Das ist doch auch vollkommen klar, denn glm. Konvergenz bedeutet Konvergenz bzgl. der Supremumsnorm [mm] $\parallel\cdot\parallel_\infty$, [/mm] aber für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] hat man [mm] $\left| e^x-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!}\right|=\sum_{k=n}^\infty\frac{x^k}{k!}\ge \frac{x^n}{n!}\ge [/mm] 1$ für [mm] $x\ge\sqrt[n]{n!}$. [/mm] Sobald aber $x$ beschränkt ist, geht diese Konstruktion nicht mehr (für alle [mm] $n\in\IN$).
[/mm]
Gruß, Robert
|
|
|
|
