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| Aufgabe | [mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 }
[/mm]
Ist diese Matrix positiv definit, negativ definit oder indefinit ? |
Ich habe zu dieser Matrix die Eigenwerte ausgerechnet und folgende herausbekommen
[mm] x_{1}=\bruch{-4+\wurzel{10}}{2}
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{-4-\wurzel{10}}{2}
[/mm]
[mm] x_{3}=-2
[/mm]
Damit sind alle Eigenwerte der Matrix < 0.
Also ist die Matrix negativ definit.
Hab ich das so richtig gemacht?
Geht das auch anders?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Do 25.03.2010 | | Autor: | Blech |
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 }[/mm]
>
> Ist diese Matrix positiv definit, negativ definit oder
> indefinit ?
> Ich habe zu dieser Matrix die Eigenwerte ausgerechnet und
> folgende herausbekommen
>
> [mm]x_{1}=\bruch{-4+\wurzel{10}}{2}[/mm]
> [mm]x_{2}=\bruch{-4-\wurzel{10}}{2}[/mm]
> [mm]x_{3}=-2[/mm]
>
> Damit sind alle Eigenwerte der Matrix < 0.
> Also ist die Matrix negativ definit.
Sie ist negativ definit.
>
> Hab ich das so richtig gemacht?
Ich hatte wirklich gehofft, daß Dein Ergebnis stimmt, weil ich im Moment hier EWs nur numerisch ausrechnen lassen kann, und ich nicht alles von Hand machen wollte.
Aber Du hast mich schwer enttäuscht. =)
Die Wurzeln müssen [mm] $\sqrt{12}$ [/mm] sein, nicht [mm] $\sqrt{10}$
[/mm]
> Geht das auch anders?
Mit dem Trägheitssatz von Sylvester und einfachen Zeilen- und Spaltenoperationen:
[mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 }\longrightarrow \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 }\longrightarrow[/mm]
[mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 }[/mm]
ciao
Stefan
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OK, ich hab mich völlig doof verrechnet, aber der Lösungsweg ist doch trotzdem richtig, oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Do 25.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> OK, ich hab mich völlig doof verrechnet, aber der
> Lösungsweg ist doch trotzdem richtig, oder nicht?
Zeige: die Eigenwerte der Matrix sind alle < 0.
Folgerung: die Matrix ist negativ definit.
FRED
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