pos. Definitheit mit G-Schmidt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:48 Mo 01.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
Habe irgendwie malgehört, dass man mit dem Gramschmidt-Algorithmus irgendwie feststellen kann ob eine Matrix positiv Definit ist. Weiß jemand wie das geht? Am Besten mit Beweis(skizze) 
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
Wenn man anhand einer Bilinearform, die nicht positiv definit ist, eine Norm definieren will, dann hätte man das Problem, dass man entweder die Wurzel aus was Negativem ziehen müsste oder die Norm Null wäre (da ja die Bedingung [mm] > 0[/mm] nicht mehr da ist).
Und da man beim Gram-Schmidt-Verfahren zwischendurch auch mal Normieren muss, könnte es also daran scheitern.
Also man rechnet hierbei das Verfahren mit der neuen symmetrischen Bilinearform durch, nicht mit dem kanonischen Skalarprodukt.
Die Frage ist nur noch, ob es wirklich jedes Mal scheitert (also mit beliebiger Anfangsbasis), d.h. ob man sagen, dass es genau dann mit jeder beliebigen Startbasis scheitert, wenn die Bilinearform nicht positiv definit ist.
Der Trägheitssatz von Sylvester gebe uns vielleicht eine Antwort, denn er sagt ja, dass die Dimensionen der Unterräume [mm]V_+[/mm] und [mm] V_0 [/mm] invariant sind in der Zerlegung [mm]V = V_+ \oplus V_- \oplus V_0[/mm], man also jedes Mal beim Gram-Schmidt-Verfahren auf so einen Vektor stoßen müsste (hier bin ich mir nicht sicher, ist diese letzte Schlussfolgerung richtig? Tritt deswegen bei beliebig gewählten Basen dieser Fall trotzdem ein?).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:32 Di 02.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Wenn man anhand einer Bilinearform, die nicht positiv
> definit ist, eine Norm definieren will, dann hätte man das
> Problem, dass man entweder die Wurzel aus was Negativem
> ziehen müsste oder die Norm Null wäre (da ja die Bedingung
> [mm] > 0[/mm] nicht mehr da ist).
>
> Und da man beim Gram-Schmidt-Verfahren zwischendurch auch
> mal Normieren muss, könnte es also daran scheitern.
> Also man rechnet hierbei das Verfahren mit der neuen
> symmetrischen Bilinearform durch, nicht mit dem kanonischen
> Skalarprodukt.
>
> Die Frage ist nur noch, ob es wirklich jedes Mal scheitert
> (also mit beliebiger Anfangsbasis), d.h. ob man sagen, dass
> es genau dann mit jeder beliebigen Startbasis scheitert,
> wenn die Bilinearform nicht positiv definit ist.
Da habe ich Zweifel. Ich habe mal $A = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }$ [/mm] gewaehlt, dann ist $b(v, w) = [mm] v_1 w_1 [/mm] - [mm] v_2 w_2$ [/mm] die zugehoerige Bilinearform; dass diese nicht positiv definit ist sieht man sofort 
Wenn man jetzt die Basis [mm] $\pmat{ 1 \\ lambda }, \pmat{ 1 \\ \mu }$ [/mm] mit [mm] $|\lambda| [/mm] < 1$ und [mm] $\mu [/mm] < [mm] \lambda$ [/mm] waehlt und Gram-Schmidt bzgl. $b$ auf diese Basis anwendet, sollte man (wenn ich mich nicht verrechnet hab) eine bzgl. $b$ orthogonalisierte Basis bekommen, ohne dass der Fall $b(v, v) [mm] \le [/mm] 0$ auftritt.
Insofern weiss ich grad nicht ob dieser Ansatz weiterhilft... Eventuell muss man spezielle Basen waehlen? Oder das Kriterium hilft nur zu widerlegen, dass etwas positiv definit ist?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:28 Di 02.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
Also da hätteste dir mal echt ein besseres Beispiel überlegen können *grins*
Ich hab 'ne geschlagene halbe Stunde daran rumgerechnet, nur um es in eine Form zu zwingen, die ich in Mathematica reinwerfen kann.
Aber ich kann jetzt (sofern ich mich nicht auch verrechnet hab - und das könnte sogar wirklich passiert sein bei dieser ewigen Rechnung ^^) dein Gegenbeispiel bestätigen (also insofern, dass es mögliche Wahlen von [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] gibt, sodass es trotzdem geht - einfach die Bedingung [mm]\mu < \lambda[/mm] reicht nicht aus).
Ich weiss jetzt auch wieso mein Argument mit dem Trägheitssatz nix bringt... denn die Basen müssen ja nicht unbedingt in einem der Räume liegen (genau das passiert nämlich in deinem Gegenbeispiel).
Also sagen wir es so: Wenn man beim Rechnen auf etwas nicht-berechenbares stößt, dann kann man sich sicher sein, dass man eine nicht positiv definite Form hat, ansonsten... tja, ansonsten kann man erstmal nix anderes sagen ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Mi 03.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Vielleicht hat es was mit der Darstellungsmatrix des Basiswechsels von der Ausgangsbasis auf die orthonormalisierte zu tun... spätestens Freitag weiß ich hoffentlich mehr
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Mi 03.09.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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