pos.Definit=>Nicht-Degeneriert < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr,
ich lerne gerade für meine Zwischenprüfung und bin darauf gestoßen, dass Positivdefinitheit Nicht-Degeneriertheit impliziert.
Das wollte ich nun für mich beweisen, aber scheiter daran..
- V ist ein K-Vektorraum:
- Positiv-definites Skalarprodukt: <u,u> >0 für alle u [mm] \in [/mm] V mit u [mm] \not= [/mm] 0
- Nicht-Degeneriertheit einer Bilinearform mit Basis [mm] v_1, ...,v_n: [/mm]
B [mm] \in M_n(K) [/mm] (beschreibende Matrix dieser Bilinearform)invertierbar , wenn kein w [mm] \in [/mm] V mit [mm] w\not=0 [/mm] mit <u,w> =0 [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] V
Wie kann man an diesen Beweis herangehen?
ich habe es so versucht:
<u,w> = <u,u>+<u,w>+<w,u>+<w,w>-<u,u>-<w,w>-<w,u> =
<u+w,u+w> - <u,u> - <w,w> -<w,u>
Nach Voraussetzung ist das Rotgeschriebene kleiner als 0
Aber ich komme nicht weiter und weiß nicht einmal ob es der richtige Ansatz war.
Kann mir da jemand helfen?
Lg Sandra
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Hallo,
ich komme mit deiner Bilinearform nicht ganz klar.
Ist sie symmetrisch?
Wie ist bei dir "nicht-degeneriert" definiert? Kommen wir hier ohne Matrix aus? Vielleicht so:
es gibt kein w [mm]\in[/mm] V mit [mm]w\not=0[/mm]
mit <u,w> =0 [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] V
Gruß korbinian
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Hallihallo,
Nicht-Degeneriertheit habe ich in der Frage doch extra erklärt gehabt, stimmt also mehr oder weniger mit dem überein was du geschrieben hast.(bis auf den Zusammenhang zu invertierbaren Matrizen)
Ich bin davon ausgegangen, dass es in dem Scriptabsatz, nicht um symmetrische Bilinearformen geht..
Ist der Beweis nur mit symmetrischen Bilinearformen zu machen?
Lg Sandra
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Hallo
ist die Bilinearform nicht symmetrisch muss die Def. von nicht-degeneriert m.E. noch um
es gibt kein [mm] w\not=0 [/mm] mit <w,u>=0 [mm] \forall [/mm] u
ergänzt werden.
Wenn du damit einverstanden bist kannst du doch jetzt einen indirekten Beweis führen
Gruß korbinian
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