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| Aufgabe | In dieser Aufgabe wollen wir uns mit Polynominterpolation im [mm] \IR^{2} [/mm] beschäftigen.
a) Es bezeichne [mm] \IR[X1_{1},Xx_{2}]_{\le n} [/mm] den Vektorraum der Polynome in [mm] X_{1},X_{2} [/mm] mit Grad höchstens n.Dabei ist der Grad eines Monoms [mm] X_{1}^{e_{1}} [/mm] , [mm] X_{2}^{e_{2}} [/mm] die Summe [mm] e_{1}+e_{2} [/mm] der Exponenten und der Grad eines Polynoms der maximale Grad der auftretenden Monome.
Bestimme seine Dimension.
b)Die Existenz und Eindeutigkeit ist nicht so einfach wie im eindimensionalen Fall,gib Beispiele für:
(i)Drei Punkte [mm] x_{0},x_{1},x_{2} \in \IR^{2} [/mm] und Werte [mm] y_{0},y_{1},y_{2}\in \IR [/mm] , so dass es kein [mm] p\in \IR[X1_{1},Xx_{2}]_{\le 1} [/mm] mit [mm] p(x_{i})=y_{i} [/mm] gibt.
(ii)Drei Punkte [mm] x_{0},x_{1},x_{2} \in \IR^{2} [/mm] und Werte [mm] y_{0},y_{1},y_{2}\in \IR [/mm] , so dass es unendlich viele [mm] p\in \IR[X1_{1},Xx_{2}]_{\le 1} [/mm] mit [mm] p(x_{i})=y_{i} [/mm] gibt.
c) Finde eine hinreichende und notwendige Bedingung dafür, dass zu gegebenen [mm] x_{0},x_{1},x_{2} \in \IR^{2} [/mm] die entsprechende Interpolationsaufgabe mit Polynomen aus [mm] \IR[X1_{1},Xx_{2}]_{\le 1} [/mm] stets eindeutig lösbar ist. |
hallo,
ich habe so meine probleme mit der aufgabe:
zu a) ich habe mir mal überlegt wieviele monome es zu den kleinen n so gibt:
n=1-->3Monome ;n=2-->6Monome ;n=3-->10Monome ; n=4-->15Monome ; n=5-->21Monome ; ....
so und nun habe ich mir folgende formel überlegt um die dimension zu berechnen: [mm] \bruch{(n+1)*(n+2)}{2} [/mm]
das wars dann auch leider schon... ich weiß nicht wie ich auf b) kommen soll und dann natürlich erst recht nicht auf c).... also bei b) muss ich mir doch stützstellen [mm] x_{i}= [/mm] (a,b) und funktionswerte überlegen, sodass ich da kein bzw. unendlich viele polynom/e zu finde, aber ich weiß nicht wie!
vielleicht könnt ihr mir ja helfen...
simplify
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 01.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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