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| Aufgabe | | Faktorisiere [mm] $x^4 [/mm] + 1$ über [mm] $\IQ$. [/mm] |
moin,
In der Aufgabenstellung sind noch eine ganze Reihe anderer Körper gegeben, [mm] ($\IC,\IR,\IZ_3$,...), [/mm] über denen ist das alles kein Problem.
Nur über [mm] $\IQ$ [/mm] finde ich einfach keine brauchbare Faktorisierung.
Wir hatten in der Vorlesung einen Satz der Form "Jedes Polynom vom Grad > 2 ist reduzibel", ich weiß aber leider nicht mehr genau ob es nur für [mm] $\IR$[x] [/mm] galt oder für Polynomringe über beliebigem Körper.
Wiki sagt dazu nur, warum es über [mm] $\IR$ [/mm] gilt, aber schweigt sich über [mm] $\IQ$ [/mm] tot.^^
Wenn es irreduzibel ist müsste man es ja auch irgendwie zeigen können, aber da wüsste ich nix besseres als "ich kriegs nicht hin". xD
Über [mm] $\IR$ [/mm] wäre:
[mm] $x^4 [/mm] + 1 = [mm] (x^2 [/mm] + 1 + [mm] x*\sqrt{2})*(x^2 [/mm] + 1 - [mm] x*\sqrt{2})$
[/mm]
Um die beiden [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] loszuwerden müsste ich das ganze mit 2 erweiteren, wodurch dann aber an anderen Stellen [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] auftauchen würde.
Ich hab auch versucht
[mm] $a*x^4 [/mm] + a$ zu faktorisieren und gezeigt, dass es kein $a [mm] \in \IQ$ [/mm] geben kann, sodass man eine Faktorisierung der oberen Form kriegt; aber es könnte ja sein dass es noch eine total andere gibt?
Also, langer Rede kurze Frage:
1. Gilt der Satz über reduzible Polynome nur über [mm] $\IR$ [/mm] oder über jedem Körper?
2. Wie sähe eine Faktorisierung über [mm] $\IQ$ [/mm] aus oder was muss ich noch machen um vollständig zu zeigen, dass es keine gibt?
thx schonmal
Schadow
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Hallo Schadowmaster,
> Faktorisiere [mm]x^4 + 1[/mm] über [mm]\IQ[/mm].
> moin,
>
> In der Aufgabenstellung sind noch eine ganze Reihe anderer
> Körper gegeben, ([mm]\IC,\IR,\IZ_3[/mm],...), über denen ist das
> alles kein Problem.
> Nur über [mm]\IQ[/mm] finde ich einfach keine brauchbare
> Faktorisierung.
Das ist nicht verwunderlich, da es über [mm]\IQ[/mm] irreduzibel ist!
>
> Wir hatten in der Vorlesung einen Satz der Form "Jedes
> Polynom vom Grad > 2 ist reduzibel", ich weiß aber leider
> nicht mehr genau ob es nur für [mm]\IR[/mm][x] galt oder für
> Polynomringe über beliebigem Körper.
Über [mm]\IR[/mm], das zeigt auch deine Aufgabe...
> Wiki sagt dazu nur, warum es über [mm]\IR[/mm] gilt, aber schweigt
> sich über [mm]\IQ[/mm] tot.^^
> Wenn es irreduzibel ist müsste man es ja auch irgendwie
> zeigen können, aber da wüsste ich nix besseres als "ich
> kriegs nicht hin". xD
> Über [mm]\IR[/mm] wäre:
> [mm]x^4 + 1 = (x^2 + 1 + x*\sqrt{2})*(x^2 + 1 - x*\sqrt{2})[/mm]
>
> Um die beiden [mm]\sqrt{2}[/mm] loszuwerden müsste ich das ganze
> mit 2 erweiteren, wodurch dann aber an anderen Stellen
> [mm]\sqrt{2}[/mm] auftauchen würde.
> Ich hab auch versucht
> [mm]a*x^4 + a[/mm] zu faktorisieren und gezeigt, dass es kein [mm]a \in \IQ[/mm]
> geben kann, sodass man eine Faktorisierung der oberen Form
> kriegt; aber es könnte ja sein dass es noch eine total
> andere gibt?
Nun, schaue dir die Transformation [mm]X\to X+1[/mm] an, dann wird aus
[mm]X^4+1\longrightarrow X^4+4X^3+6X^2+4X+2[/mm]
Darauf kannst du das Eisensteinkriterium loslassen ...
>
>
> Also, langer Rede kurze Frage:
> 1. Gilt der Satz über reduzible Polynome nur über [mm]\IR[/mm]
> oder über jedem Körper?
Über [mm]\IR[/mm]
> 2. Wie sähe eine Faktorisierung über [mm]\IQ[/mm] aus oder was
> muss ich noch machen um vollständig zu zeigen, dass es
> keine gibt?
siehe oben
>
>
> thx schonmal
>
> Schadow
Gruß
schachuzipus
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hmm, fein, fein, danke ;)
Da ich den Begriff "reduzibel" erst vor ner halben Woche kennengelernt habe sagen mir deine Vorschläge nicht wirklich viel, ich glaub ich werd einfach argumentativ labern, wieso man die Faktorisierung über [mm] $\IR$ [/mm] nicht rational kriegt.^^
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 So 23.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> hmm, fein, fein, danke ;)
> Da ich den Begriff "reduzibel" erst vor ner halben Woche
> kennengelernt habe sagen mir deine Vorschläge nicht
> wirklich viel, ich glaub ich werd einfach argumentativ
> labern, wieso man die Faktorisierung über [mm]\IR[/mm] nicht
> rational kriegt.^^
Weisst du schon, dass $K[x]$ faktoriell ist fuer einen Koerper $K$? (Etwa weil es euklidisch ist?)
In dem Fall kannst du wie folgt argumentieren: du kennst eine Zerlegung in Primfaktoren ueber [mm] $\IR$ [/mm] (oder auch ueber [mm] $\IC$, [/mm] wenn du dir nicht sicher bist dass die Faktoren ueber [mm] $\IR$ [/mm] nicht irreduzibel sind). Wenn du also eine nicht-triviale Zerlegung ueber [mm] $\IQ$ [/mm] hast, dann ist es auch eine Zerlegung ueber [mm] $\IR$ [/mm] und somit muessen die Primfaktoren ueber [mm] $\IR$ [/mm] jeweils einen der Faktoren teilen.
Da du annehmen kannst, dass die Zerlegung ueber [mm] $\IQ$ [/mm] zwei normierte (nicht-triviale) Faktoren hat, folgt daraus, dass diese Faktoren von [mm] $x^2 \pm \sqrt{2} [/mm] x + 1$ geteilt werden und somit (gleicher Grad, ...) gleich sein muessen. Da [mm] $\sqrt{2} \not\in \IQ$ [/mm] geht das aber nicht, folglich gibt es keine nicht-triviale Zerlegung ueber [mm] $\IQ$.
[/mm]
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 So 23.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Wir hatten in der Vorlesung einen Satz der Form "Jedes
> > Polynom vom Grad > 2 ist reduzibel", ich weiß aber leider
> > nicht mehr genau ob es nur für [mm]\IR[/mm][x] galt oder für
> > Polynomringe über beliebigem Körper.
>
> Über [mm]\IR[/mm], das zeigt auch deine Aufgabe...
Ueber [mm] $\IC$ [/mm] gilt es uebrigens auch. Nur dass man das 2 sogar zu einer 1 reduzieren kann 
LG Felix
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