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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:53 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Mat_ |
| Aufgabe | Consider a quantum mechanical particle of mass m in a 1-dimensional box with perfectly reflecting walls at [mm]x=\pm a[/mm]. The potential energy is zero for [mm] \left| x \right| \le a/2[/mm] and equal to [mm]V_{0} >0[/mm] for [mm]a/2 \le \left| x \right| \le a[/mm]
A) write down the Schrödinger equation for the various regions, and set up the boundary conditions between the regions.
B) Consider states with energy [mm] E \le V_{0}[/mm]. Make an ansatz for the wave function in each region and derive equations for the quantized energies. |
Nun kann ja das Gebiet in drei Teile zerlegt werden und jeweils die Schrödingergleichung hingeschrieben werden.
I: [mm] (\bruch{-\hbar^2}{2m}\partial_{x}^2 [/mm] + [mm] V_{0})\Psi_{I}(x)=E \Psi_{I}(x)
[/mm]
II: [mm] \bruch{-\hbar^2}{2m}\partial_{x}^2 \Psi_{II}(x)=E \Psi_{II}(x)
[/mm]
III: [mm] (\bruch{-\hbar^2}{2m}\partial_{x}^2 [/mm] + [mm] V_{0})\Psi_{III}(x)=E \Psi_{III}(x)
[/mm]
Aus der Symmetrie des Potential folgt ja das [mm] \Psi_{I}(x)=\pm \Psi_{III}(x)[/mm]
Also muss ich quasi nur die Region I und Region II betrachten und kann dann auf III schliessen?
Boundary conditions:
[mm]\Psi_{I}(-a) =0 [/mm]
[mm]\Psi_{I}(-a/2) =\Psi_{II}(-a/2) [/mm] und [mm]partial_{x} \Psi_{I}(-a/2) =\partial_{x}\Psi_{II}(-a/2)[/mm]
Also dass ich in Region I einen Ansatz wählen muss der von der Art:
[mm]\Psi_{I} (x)= Ae^{\kappa x}+ Be^{-\kappa x} [/mm]
und in Region II:
[mm]\Psi_{II}(x) = Ae^{ikx}+ Be^{-ikx} [/mm]
Ist mir noch klar.
[mm]\kappa = \wurzel{\bruch{2m(V_{0}-E)}{\hbar^2}}[/mm]
[mm] k = \wurzel{\bruch{2mE}{\hbar^2}}[/mm]
Nun setze ich meine erste boudary condition ein.
[mm]\Psi_{I}(-a) = Ae^{-\kappa a}+ Be^{\kappa a} = 0 [/mm]
Doch das ist ja nur erfüllt, wenn A und B null ist ... mhm wäre wirklich dankbar, wenn sich jemand die Zeit nimmt mir das zu erklären ...
mfg mat_
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 10.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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