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| Aufgabe | | Jeder lineare [11,6,5]-Code im F3 ist perfekt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Aufgabenstellung steht ja soweit oben.
Nun verstehe ich zwar den Begriff "perfekt" und kenne auch die Zusammenhänge. Jedoch habe ich Schwierigkeiten, einen Ansatz zu finden.
Bei diesem perfekten Code hat jedes Element des [mm] \IF_{3}^{5} [/mm] einen eindeutigen nächsten Nachbarn, also einen Codevektor, den kleinsten Abstand hat.
Wir haben dafür folgende Definition:
Ein Code ist perfekt, wenn
[mm] K^{n\times1} [/mm] = [mm] \bigcup_{c\in C}B_{\bruch{d(C)}{2}}(c) [/mm] ist.
Ich habe nun d(C)/2 ist ja 2,5. Also kann man das Ganze schon ein wenig vereinfachen. Aber nun hakt es und ich weiß nicht mehr, worauf ich mich als nächstes beziehen kann.
Hat jemand eine Idee und kann mir auf die Sprünge helfen?
Viele Grüße,
Matheaffe
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Hallo,
> Jeder lineare [11,6,5]-Code im F3 ist perfekt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Die Aufgabenstellung steht ja soweit oben.
> Nun verstehe ich zwar den Begriff "perfekt" und kenne auch
> die Zusammenhänge. Jedoch habe ich Schwierigkeiten, einen
> Ansatz zu finden.
> Bei diesem perfekten Code hat jedes Element des
> [mm]\IF_{3}^{5}[/mm] einen eindeutigen nächsten Nachbarn, also
> einen Codevektor, den kleinsten Abstand hat.
> Wir haben dafür folgende Definition:
> Ein Code ist perfekt, wenn
> [mm]K^{n\times1}[/mm] = [mm]\bigcup_{c\inC}\B_{\bruch{d(C)}{2}}(c)[/mm] ist.
Meinst du:
[mm]K^{n\times1}[/mm] = [mm]\bigcup_{c\inC} B_{\bruch{d(C)}{2}}(c)[/mm]
mit [mm] $B_n(x)$ [/mm] der Ball mit Radius n um x.
Bist du dir sicher, dass ihr als Radius [mm] $\frac{d(C)}{2}$ [/mm] und nicht etwa [mm] $\frac{d(C)-1}{2}$ [/mm] habt ? (Dann kämen ganze Zahlen raus, was praktisch ist, da alle perfekten Codes ungerade hamming-Distanz haben.)
> Ich habe nun d(C)/2 ist ja 2,5. Also kann man das Ganze
> schon ein wenig vereinfachen. Aber nun hakt es und ich
> weiß nicht mehr, worauf ich mich als nächstes beziehen
> kann.
> Hat jemand eine Idee und kann mir auf die Sprünge
> helfen?
Es wär sinnvoll [mm] $|B_n(x)|$ [/mm] zu bestimmen.
> Viele Grüße,
> Matheaffe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Mi 11.06.2014 | | Autor: | matheaffe |
Ja, wir haben bei uns auf jeden Fall d(c)/2, ohne -1.
Achso, also da wir ja im F3^11 sind, gibt es 3^11 Elemente
dort.
Wenn nun [mm] |B_{d(C)/2}(c)| [/mm] = 3^11 ist, habe ich das damit gezeigt,
richtig?
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> Ja, wir haben bei uns auf jeden Fall d(c)/2, ohne -1.
> Achso, also da wir ja im F3^11 sind, gibt es 3^11
> Elemente
> dort.
> Wenn nun [mm]|B_{d(C)/2}(c)|[/mm] = 3^11 ist, habe ich das damit
> gezeigt,
Das ist ein großes Wenn. Die Gleichheit ist falsch.
> richtig?
Und selbst wenn dem so wäre, sehe ich nicht, wie damit die Perfektheit des Coddes gezeigt wäre.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Mi 11.06.2014 | | Autor: | matheaffe |
Das würde heißen, dass die Anzahl der Vereinigung der Kugeln für jedes C GLEICH der Anzahl der Elemente im Vektorraum ist.
Und da die Kugeln jeweils disjunkte Teilmengen darstellen, muss doch damit die Bedingung für perfekte Codes gelten, die wir festgelegt haben.
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> Das würde heißen, dass die Anzahl der Vereinigung der
> Kugeln für jedes C GLEICH der Anzahl der Elemente im
> Vektorraum ist.
Ich hege einen Verdacht was du sagen willst, ich vermute mal es ist das:
Du willst zeigen, dass [mm] $\sum_{c \in C} |B_{\frac{d(C)}{2}} (c)|=|\mathbb F_3^{11} [/mm] |$ ist; also das die Summe der Elemente aller Kugeln genauso viele Elemente wie der Vektorraum enthält.
Ich sehe nicht wie hieraus ohne weiteres Argument folgen soll, dass die kugeln disjunkt sind.
> Und da die Kugeln jeweils disjunkte Teilmengen darstellen,
Das ist zu zeigen. Damit kannst du es nicht annehmen.
> muss doch damit die Bedingung für perfekte Codes gelten,
Wenn die Annahme gilt, gilt natürlich die Annahme.
> die wir festgelegt haben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:31 Do 12.06.2014 | | Autor: | matheaffe |
Also das Problem ist, dass ich erst ein Argument finden muss, warum diese Kugeln alle jeweils disjunkt sind, richtig?
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und dass du [mm] |B_n(x)| [/mm] nicht korrekt berechnest hast.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 13.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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