partikulärer Ansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Do 06.06.2013 | | Autor: | xsuernx |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
a) $-y'''-2y''+y'2y=3x$
b) [mm] $y^{IV}=4x^2-2$ [/mm] |
also z.b. bei der a)
ich habe die homogene Gleichung
[mm] $y_{hom}(x)=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+C_3e^x [/mm] $
berechnet
jetzt brauche ich ja einen Ansatz für die Partikuläre Lösung
in dem Beispiel was ich habe steht für
[mm] $x^2$ [/mm] sei der Ansatz $ [mm] B_2x^2+B_1x+B_0$
[/mm]
ist dann für $3x$ der Ansatz [mm] $B_1x+B_0$? [/mm] oder muss ich die 3 iergendwie beachten?
Weiterhin steht da, dass 0 keine Nullstelle von p sein darf da man sonst $ [mm] x^\mu [/mm] $ in Klammern davor schreiben muss
Was ist bei diesem Ansatz p, also was darf nicht null werden?
Vielen Dank schonmal
Sören
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Hallo Sören,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
> a) [mm]-y'''-2y''+y'2y=3x[/mm]
Der Lösung nach zu urteilen, sollte da $-y'''-2y''+y' \ [mm] \red [/mm] + \ 2y \ = \ 3x$ stehen ...
>
> b) [mm]y^{IV}=4x^2-2[/mm]
> also z.b. bei der a)
> ich habe die homogene Gleichung
> [mm]y_{hom}(x)=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+C_3e^x[/mm]
> berechnet ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> jetzt brauche ich ja einen Ansatz für die Partikuläre
> Lösung
> in dem Beispiel was ich habe steht für
> [mm]x^2[/mm] sei der Ansatz [mm]B_2x^2+B_1x+B_0[/mm]
> ist dann für [mm]3x[/mm] der Ansatz [mm]B_1x+B_0[/mm]? oder muss ich die 3
> iergendwie beachten?
Erst nachher im Koeffizientenvergleich, wenn du [mm] $B_0,B_1$ [/mm] ausrechnest.
Das steht zB. hier
http://www.imn.htwk-leipzig.de/~martin/Wirtschaftsmathematik_WIB/Ansatz%20inhomogene%20Dgl.pdf
ganz gut aufgelistet ...
>
> Weiterhin steht da, dass 0 keine Nullstelle von p sein darf
> da man sonst [mm]x^\mu[/mm] in Klammern davor schreiben muss
>
> Was ist bei diesem Ansatz p, also was darf nicht null
> werden?
Das p ist das Polynom auf der rechten Seite, also die Störfunktion, hier $p=p(x)=3x$
>
> Vielen Dank schonmal
> Sören
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
bitte zitiere mit etwas Bedacht, Unnötiges lösche weg, sonst ist es total unübersichtlich!
> DANKE!
>
> okay das habe ich jetzt soweit verstanden
> [mm]p(x)=3x[/mm]
> [mm]3x=0[/mm]
> [mm]x=0[/mm]
> d.h. ich habe einen Resonanzfall und muss [mm]x^\mu[/mm]
> mitnehmen?
> wäre das in diesem Fall dann :
> [mm]x(B_1x+B_0)[/mm] ?
Das war Verwirrung!
In dem link bezeichnet [mm]P(x)[/mm] das charakt. Polynom.
> habe ja nur [mm]3x^1[/mm]
> also müsste [mm]\mu=1[/mm] sein?
Nein, der Ansatz für die gegebene Störfunktion ist hier:
[mm]y_{part}(x)=B_0+B_1\cdot{}x[/mm]
Leite 3mal ab, setze in die Dgl ein und berechne [mm]B_0,B_1[/mm] ...
Probiere auch einfach mal aus, was bei dem falschen Ansatz [mm]y_{part}(x)=x\cdot{}(B_0+B_1\cdot{}x)[/mm] passiert ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Fr 07.06.2013 | | Autor: | xsuernx |
> Hallo nochmal,
>
> bitte zitiere mit etwas Bedacht, Unnötiges lösche weg,
> sonst ist es total unübersichtlich!
>
Okay
>
> Nein, der Ansatz für die gegebene Störfunktion ist hier:
>
> [mm]y_{part}(x)=B_0+B_1\cdot{}x[/mm]
>
> Leite 3mal ab, setze in die Dgl ein und berechne [mm]B_0,B_1[/mm]
> ...
>
> Probiere auch einfach mal aus, was bei dem falschen Ansatz
> [mm]y_{part}(x)=x\cdot{}(B_0+B_1\cdot{}x)[/mm] passiert ...
Okay habe ich beides gemacht bei dem falschen Ansatz kommt man (oder ich) nicht weit... wird alles sehr komplex und ich bekomme keinen Koeffizientenvergleich hin.
mit dem richtigen Ansatz komme ich auf
[mm] $y_{part}=B_0+B_1x$
[/mm]
[mm] $y'_{part}=B_1$
[/mm]
$y''{part}=y'''{part}=0$
somit ergibt sich $ [mm] 0-0+B_1+2(B_0+B_1x)=!3x$
[/mm]
[mm] $B_1=\bruch{3}{2}$
[/mm]
[mm] $B_0=-\bruch{3}{4}$
[/mm]
[mm] $y_{part}=-\bruch{3}{4}+\bruch{3}{2}x$
[/mm]
und somit [mm] $y(x)=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+C_3e^x+-\bruch{3}{4}+\bruch{3}{2}x$
[/mm]
Okay ich habe dass mit dem $p(x)$ immer noch nicht so ganz.. sorry
was genau muss ich =0 setzten um zu sehen ob ich einen Resonanzfall habe?
nehmen wir die zweite Aufgabe (vllt versteh ich es an der)
$ [mm] y^{IV}=4x^2-2 [/mm] $
da habe ich als
[mm] $y_{hom}=C_1+C_2x+C_3x^2+C_4x^3$
[/mm]
nehme ich da jetzt [mm] $B_2x^2+B_1x+B_0=!4x^2-2$
[/mm]
oder [mm] x^\mu(B_2x^2+B_1x+B_0)=!4x^2-2$ [/mm] ?
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Hallo xsuernx,
> > Hallo nochmal,
> >
> > bitte zitiere mit etwas Bedacht, Unnötiges lösche weg,
> > sonst ist es total unübersichtlich!
> >
> Okay
>
> >
> > Nein, der Ansatz für die gegebene Störfunktion ist hier:
> >
> > [mm]y_{part}(x)=B_0+B_1\cdot{}x[/mm]
> >
> > Leite 3mal ab, setze in die Dgl ein und berechne [mm]B_0,B_1[/mm]
> > ...
> >
> > Probiere auch einfach mal aus, was bei dem falschen Ansatz
> > [mm]y_{part}(x)=x\cdot{}(B_0+B_1\cdot{}x)[/mm] passiert ...
>
> Okay habe ich beides gemacht bei dem falschen Ansatz kommt
> man (oder ich) nicht weit... wird alles sehr komplex und
> ich bekomme keinen Koeffizientenvergleich hin.
>
> mit dem richtigen Ansatz komme ich auf
> [mm]y_{part}=B_0+B_1x[/mm]
> [mm]y'_{part}=B_1[/mm]
> [mm]y''{part}=y'''{part}=0[/mm]
>
> somit ergibt sich [mm]0-0+B_1+2(B_0+B_1x)=!3x[/mm]
> [mm]B_1=\bruch{3}{2}[/mm]
> [mm]B_0=-\bruch{3}{4}[/mm]
>
>
> [mm]y_{part}=-\bruch{3}{4}+\bruch{3}{2}x[/mm]
>
> und somit
> [mm]y(x)=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+C_3e^x+-\bruch{3}{4}+\bruch{3}{2}x[/mm]
>
>
> Okay ich habe dass mit dem [mm]p(x)[/mm] immer noch nicht so ganz..
> sorry
> was genau muss ich =0 setzten um zu sehen ob ich einen
> Resonanzfall habe?
>
> nehmen wir die zweite Aufgabe (vllt versteh ich es an der)
>
> [mm]y^{IV}=4x^2-2[/mm]
> da habe ich als
> [mm]y_{hom}=C_1+C_2x+C_3x^2+C_4x^3[/mm]
>
> nehme ich da jetzt [mm]B_2x^2+B_1x+B_0=!4x^2-2[/mm]
Nein.
> oder [mm]x^\mu(B_2x^2+B_1x+B_0)=!4x^2-2$[/mm] ?
Den auf der linken Seite stehenden Ansatz setzt Du in die DGL ein.
Dabei ist [mm]\mu[/mm] entsprechend der Vielfachheit
der Nullstelle 0 im charakteristischen Polynom zu wählen.
Hier also [mm]}\mu=4[/mm]
Damit lautet der Ansatz [mm]x^{4}(B_2x^2+B_1x+B_0)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Fr 07.06.2013 | | Autor: | xsuernx |
> Den auf der linken Seite stehenden Ansatz setzt Du in die
> DGL ein.
> Dabei ist [mm]\mu[/mm] entsprechend der Vielfachheit
> der Nullstelle 0 im charakteristischen Polynom zu
> wählen.
>
> Hier also [mm]}\mu=4[/mm]
>
> Damit lautet der Ansatz [mm]x^{4}(B_2x^2+B_1x+B_0)[/mm]
>
>
> Gruss
> MathePower
Super habs glaube ich :) Danke!
Kurz zur Lösung:
[mm] $y_{part}(x)=B_0x^4+B_1x^5+B_1x^6$
[/mm]
[mm] $y^{IV}=360B_2x^2+120B_1x+24B_0=!4x^2-2$
[/mm]
[mm] $B_2=\bruch{1}{90} [/mm] ; [mm] B_1=0 [/mm] ; [mm] B_0=-\bruch{1}{12} [/mm] $
damit ergibt sich
[mm] $y_{part}(x)=\bruch{1}{90}x^6-\bruch{1}{12}x^4 [/mm] $
Allgemeine Lösung:
[mm] $y(x)=C_1+C_2x+C_3x^2+C_4x^3+\bruch{1}{90}x^6-\bruch{1}{12}x^4 [/mm] $
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Hallo xsuernx,
> > Den auf der linken Seite stehenden Ansatz setzt Du in die
> > DGL ein.
> > Dabei ist [mm]\mu[/mm] entsprechend der Vielfachheit
> > der Nullstelle 0 im charakteristischen Polynom zu
> > wählen.
> >
> > Hier also [mm]}\mu=4[/mm]
> >
> > Damit lautet der Ansatz [mm]x^{4}(B_2x^2+B_1x+B_0)[/mm]
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Super habs glaube ich :) Danke!
>
> Kurz zur Lösung:
>
> [mm]y_{part}(x)=B_0x^4+B_1x^5+B_1x^6[/mm]
>
>
> [mm]y^{IV}=360B_2x^2+120B_1x+24B_0=!4x^2-2[/mm]
>
> [mm]B_2=\bruch{1}{90} ; B_1=0 ; B_0=-\bruch{1}{12}[/mm]
>
> damit ergibt sich
>
> [mm]y_{part}(x)=\bruch{1}{90}x^6-\bruch{1}{12}x^4[/mm]
>
> Allgemeine Lösung:
>
> [mm]y(x)=C_1+C_2x+C_3x^2+C_4x^3+\bruch{1}{90}x^6-\bruch{1}{12}x^4[/mm]
Gruss
MathePower
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