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Hallo zusammen.
Ich habe hier grade ein Problem, und komme einfach nicht dahinter an welcher Stelle meine Überlegung falsch läuft.
Und zwar geht es um die Verfahren zum Lösen von linearen Differenzengleichungen wie sie hier beschrieben werden
http://www.math.tu-dresden.de/sto/schmidt/mathe2/wiwi/ma2-differenzengleichungen.pdf
Bzw. das gleiche findet sich auch hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Differenzengleichung
In den Beispielen geht das ja wunderbar.
Aber angenommen, ich habe jetzt eine Gleichung der Form
[mm] a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=n(n-1), [/mm] und will die partikuläre Lösung bestimmen. d.h. im Skript der Uni Dresden wäre das der Fall auf Seite 36, wenn ich es nachrechne komme ich ebenfalls auf die Lösung
[mm] \bruch{n^3(n-1)}{2}
[/mm]
So, nun zu meinem Problem:
Wenn ich diesen Ausdruck in die Gleichung einsetze, müsste ich doch am Ende auf n(n-1) kommen.
Bei mir ergibt sich aber (ich habe das nun viermal nachgerechnet, langsam glaube ich nicht mehr an einen Rechenfehler...)
[mm] 6n^2+9n+4... [/mm]
da kann doch etwas nicht stimmen.
Kann mir jemand bei meinem Denkfehler helfen?
Vielen Dank schonmal an alle Helfer :) Gruß, Hans-Jürgen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Do 09.04.2009 | | Autor: | Blech |
Die Lösungsformel in dem pdf gilt nur für konstantes c.
Wir machen's wie auf wikipedia und nehmen eine Potenz:
In Deinem Fall setzt Du einfach mal mit [mm] $x*n^4$ [/mm] an, und fügst dann zur Korrektur Terme niederer Ordnung hinzu (d.h. zuerst [mm] $y*n^3$, [/mm] dann [mm] $z*n^2$; [/mm] die kannst Du ja getrennt rechnen, die Werte von davor ändern sich ja nicht) bis Du auf den Störterm kommst.
[mm] $x*n^4$, [/mm] weil Du feststellen wirst, daß sich die beiden höchsten Potenzen immer rauskürzen.
Lösung ist dann, sofern ich mich nicht verrechnet habe
[mm] $\frac{1}{12}n^4 [/mm] - [mm] \frac{1}{2}n^3 [/mm] + [mm] \frac12\left(3-\frac{14}{12}\right)$
[/mm]
ciao
Stefan
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Danke erstmal für die schnelle Antwort!
Was ich nicht verstehe: warum muss man den Ansatz mit [mm] x^4 [/mm] machen? Bei Wikipedia steht ein bisschen weiter oben, dass man bei einem Polynom als rechter Seite den Ansatz mit einem Polynom gleichen Grades macht (in der Tabelle etwas weiter oben...)
Da ich rechts ein Polynom 2. Grades habe müsste ich doch auch den Ansatz damit machen, oder nicht?
Und mit diesem Ansatz (Polynom 2. Grades) bin ich auch auf die Lösung [mm] \bruch{n^3(n-1)}{2} [/mm] gekommen...
irgendwie hänge ich immernoch fest. wie kommt man denn auf [mm] n^4?
[/mm]
Danke fürs helfen :) Gruß, Hans-J.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Do 09.04.2009 | | Autor: | Blech |
Wie ich schon geschrieben hatte:
$ [mm] x\cdot{}n^4 [/mm] $, weil Du feststellen wirst, daß sich die beiden höchsten Potenzen immer rauskürzen.
Du kannst auch mit [mm] $i*n^2$ [/mm] anfangen und dann so lange höhere Potenzen hinzufügen, bis Du die Struktur auf der rechten Seite nachbilden kannst.
ciao
Stefan
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Juhuuu, ich habe es nun endlich ganz verstanden!!!!
Mein Fehler war, dass dort stand man solle den Ansatz mit einem Polynom gleichen Grades machen (ich nehme mal an, das funktioniert nur, falls sich eben keine hohen Potenzen rauskürzen, wie hier...) Dadurch habe ich dann Koeffizienten bekommen, die n enthalten haben. Die einfach verwendet und schon war der Fehler da.
Aber jetzt habe ich alles gut verstanden
Wenn ich es richtig sehe, dann kann man sogar die konstanten/linearen Anteile von Anfang an weglassen, weil die eh immer wegfallen, oder nicht?
Danke auf alle Fälle nochmal für die Hilfe! Jetzt ist mir das Ganze endlich klar!!
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