partielle Integration? < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Do 02.02.2012 | | Autor: | Lovella |
| Aufgabe | hallo! $ [mm] \integral_{0}^{1}{x^k(1-x)^{n-k}\ dx} \quad =\quad \bruch{1}{(n+1)\vektor{n \\ k}}$ [/mm] mit $ [mm] 0\leq [/mm] k [mm] \leq [/mm] n [mm] \in \IN \cup \{0\} [/mm] $
soll bestimmt werden mit vollständiger induktion, irgwie... Als hinweis steht noch da "partielle integration" |
aber was ich auch als u' oder v' nehme es bleibt immer ein term den ich nicht intergieren kann im induktionsschritt. Ich war fast den ganzen nachmittag an der aufgabe und wollte sie umbedingt alleine schaffen, weil ich intergieren mag, aber jetzt muss ich eingestehen dass ich doch hilfe brauch...
haltet ihr es für sinnvoll vll mit dem binomischen lehrsatz auf den term $ [mm] (1-x)^{n+1-k} [/mm] $ los zu gehen?
könnt ihr mir helfen? Aber nicht zu viel helfen 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Do 02.02.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hallo! [mm]\integral_{0}^{1}{x^k(1-x)^{n-k}\ dx} \quad =\quad \bruch{1}{(n+1)\vektor{n \\ k}}[/mm]
> mit [mm]0\leq k \leq n \in \IN \cup \{0\}[/mm]
>
>
> soll bestimmt werden mit vollständiger induktion,
> irgwie... Als hinweis steht noch da "partielle
> integration"
> aber was ich auch als u' oder v' nehme es bleibt immer ein
> term den ich nicht intergieren kann im induktionsschritt.
> Ich war fast den ganzen nachmittag an der aufgabe und
> wollte sie umbedingt alleine schaffen, weil ich intergieren
> mag, aber jetzt muss ich eingestehen dass ich doch hilfe
> brauch...
>
> haltet ihr es für sinnvoll vll mit dem binomischen
> lehrsatz auf den term [mm](1-x)^{n+1-k}[/mm] los zu gehen?
Nein. Das würde sicher gehen, aber dann hast du deine Summe, die du integrieren und hinterher wieder aufsummieren musst.
Zur partiellen Integration: ich nenne das gesuchte Integral mal
[mm] I(n,k) := \integral_{0}^{1}{x^k(1-x)^{n-k}\ dx}[/mm] .
Beachte, dass die Summe der beiden Exponenten $k$ und $(n-k)$ immer n ergibt.
Wenn du [mm] $u=x^k$ [/mm] und [mm] $v'=(1-x)^{n-k}$ [/mm] setzt, so ist:
[mm] u'=kx^{k-1} [/mm] und [mm]v=\bruch{(-1)^{n-k}}{n-k+1}(x-1)^{n-k+1} = -\bruch{1}{n-k+1}(1-x)^{n-(k-1)} [/mm],
und es ergibt sich für $k>0$ bei der partiellen Integration das Integral
[mm] I(n,k-1) = \integral_{0}^{1}{x^{k-1}(1-x)^{n-(k-1)}\ dx} [/mm]
mal einem Vorfaktor, der von n und k abhängt. Du könntest also mit $k=n$ anfangen und über diese Beziehung zwischen $I(n,k)$ und $I(n,k-1)$ deine Induktion bis $k=0$ durchführen.
Ebenso könntest du [mm] $u=(1-x)^{n-k}$ [/mm] und [mm] $v'=x^k$ [/mm] setzen, dann bekommst du für $n>k$ das Integral
[mm] I(n,k+1) = \integral_{0}^{1}{x^{k+1}(1-x)^{n-(k+1)}\ dx} [/mm] .
Da musst du bei $k=0$ anfangen und in jedem Induktionsschritt k eins hochzählen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Do 02.02.2012 | | Autor: | Lovella |
ok sieht gut aus, danke,
kurze zwischenfrage: du hast am ende $ I(n,k+1) = [mm] \integral_{0}^{1}{x^{k+1}(1-x)^{n-(k+1)}\ dx} [/mm] $
geschrieben. müste es nicht I(n,k+1) = [mm] \integral_{0}^{1}{x^{k}(1-x)^{n+1-k}\ dx} [/mm] $ heißen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Do 02.02.2012 | | Autor: | chrisno |
Die Induktion läuft über k und nicht über n.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Do 02.02.2012 | | Autor: | Lovella |
nein, oder? ![[cry01]](/images/smileys/cry01.gif "[cry01]") dann hab ich ja den ganzen nachmittag verschwendet....
woher weißt du, dass die induktion über k läuft? normalerweise läuft sie doch über n?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Do 02.02.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> nein, oder? dann hab ich ja den ganzen nachmittag
> verschwendet....
>
> woher weißt du, dass die induktion über k läuft?
> normalerweise läuft sie doch über n?
Naja, das ist eine Gewohnheit.
Der Punkt hier ist, dass sich bei der partiellen Integration der eine Exponent um 1 erhöht, der andere um 1 erniedrigt, also die Summe aus beiden ($=n$) dieselbe bleibt. Es ändert sich also k, nicht n.
Man könnte es auch mit n versuchen, aber dann musst du irgendwie von
[mm] \integral x^k(1-x)^{n-k} \,dx [/mm]
auf
[mm] \integral x^k(1-x)^{(n+1)-k} \,dx [/mm]
kommen. Das scheint mir deutlich mühsamer.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 Do 02.02.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
So würde es über n gehen:
[mm] I(n+1,k) = \integral_0^1 x^k(1-x)^{(n+1)-k} \, dx = \integral_0^1 x^k(1-x)^{n-k}(1-x)\,dx [/mm]
[mm] = \integral_0^1 x^k(1-x)^{n-k}\,dx - \integral_0^1 x^k(1-x)^{n-k}x\,dx [/mm]
[mm] = I(n,k) - I(n,k+1) [/mm].
Das zweite Integral wandelst du per partieller Integration in $I(n+1,k)$ um, und kannst so für festes k einen Induktionsschritt über n machen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Sa 04.02.2012 | | Autor: | Lovella |
sooo da bin ich wieder....
ich habe es jetzt auch probiert über k vollständig zu induzieren, sehr weit bin ich trotz eurer tipps nicht gekommen, ich glaub ich hab den kern noch immer nicht ganz verstanden:
$ [mm] \integral_{0}^{1}{\underbrace{x^{k+1}}_{=:f}\underbrace{(1-x)^{n-k-1}}_{=:g'}\ dx} \quad =\quad x^{k+1}\left(-\bruch{1}{n-k}(1-x)^{n-k}\right)\Bigg|_{0}^{1}\ [/mm] -\ [mm] \integral_{0}^{1}{(k+1)x^k\left(-\bruch{1}{n-k}(1-x)^{n-k}\right)\ dx} \quad [/mm] =\ [mm] \Big? [/mm] $
wenn man im minuend 1 und 0 einsetzt kommt ja 0 raus, aber nur wenn $ [mm] n\neq [/mm] k $, weil sonst ja ne 0 im nenner wär und einmal [mm] 0^0 [/mm] da stehen würde. Geht das dann trotzdem?
Und wie komme ich jetzt mit dem subtrahend, also dem integral, weiter?
Ich weiß z.b. nicht, wie ich dies:
"Du könntest also mit $ k=n $ anfangen und über diese Beziehung zwischen $ I(n,k) $ und $ I(n,k-1) $ deine Induktion bis $ k=0 $ durchführen."
durchführen soll.... Könnt ihr mir nochmal helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Sa 04.02.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> sooo da bin ich wieder....
>
> ich habe es jetzt auch probiert über k vollständig zu
> induzieren, sehr weit bin ich trotz eurer tipps nicht
> gekommen, ich glaub ich hab den kern noch immer nicht ganz
> verstanden:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\underbrace{x^{k+1}}_{=:f}\underbrace{(1-x)^{n-k-1}}_{=:g'}\ dx} \quad =\quad x^{k+1}\left(-\bruch{1}{n-k}(1-x)^{n-k}\right)\Bigg|_{0}^{1}\ -\ \integral_{0}^{1}{(k+1)x^k\left(-\bruch{1}{n-k}(1-x)^{n-k}\right)\ dx} \quad =\ \Big?[/mm]
Zieh die konstante Terme vor das Integral, also
[mm] = \bruch{k+1}{n-k} \integral_{0}^{1}x^k(1-x)^{n-k}\,dx [/mm] .
Es ist also
[mm] I(n,k+1) = \bruch{k+1}{n-k} I(n,k) [/mm] ,
oder, wenn ich k durch $(k-1)$ ersetze
[mm] I(n,k) = \bruch{k}{n-k+1} I(n,k-1) [/mm] ,
oder
(*) [mm] I(n,k-1) = \bruch{n-k+1}{k} I(n,k) [/mm] .
> wenn man im minuend 1 und 0 einsetzt kommt ja 0 raus, aber
> nur wenn [mm]n\neq k [/mm], weil sonst ja ne 0 im nenner wär und
> einmal [mm]0^0[/mm] da stehen würde. Geht das dann trotzdem?
Nein, denn für $k=n$ wäre das Integral auf der linken Seite
[mm]\integral_{0}^{1}{x^{n+1}(1-x)^{-1}dx} [/mm]
Dieser Fall kann nicht vorkommen, denn die Bedingung [mm] $0\le k\le [/mm] n$ für das ursprüngliche Integral bedeutet doch, dass sowohl der Exponent von x als auch der von $(1-x)$ immer zwischen 0 und n liegen.
> Und wie komme ich jetzt mit dem subtrahend, also dem
> integral, weiter?
> Ich weiß z.b. nicht, wie ich dies:
>
> "Du könntest also mit [mm]k=n[/mm] anfangen und über diese
> Beziehung zwischen [mm]I(n,k)[/mm] und [mm]I(n,k-1)[/mm] deine Induktion bis
> [mm]k=0[/mm] durchführen."
>
> durchführen soll.... Könnt ihr mir nochmal helfen?
Eigentlich hast du alles beisammen, du musst nur den Induktionsschritt richtig machen.
I. Induktionsanfang: $k=n$. Es ist zu zeigen:
[mm] \integral_0^1 x^n (1-x)^0 dx = \bruch{1}{(n+1)\vektor{n \\ n}} [/mm] .
Die linke Seite ist
[mm] \integral_0^1 x^n dx = \bruch{1}{n+1} x^{n+1}\Biggr|_0^1 = \bruch{1}{n+1} [/mm] ,
was wegen [mm] $\vektor{n \\ n}=1$ [/mm] mit der rechten Seite übereinstimmt.
II. Induktionschritt: Für ein [mm] $k\le [/mm] n$ gelte
[mm] I(n,k) = \bruch{1}{(n+1)\vektor{n \\ k}} [/mm] .
Mit der Formel (*) ergibt sich
[mm] I(n,k-1) = \bruch{n-k+1}{k} \bruch{1}{(n+1)\vektor{n \\ k}} [/mm] .
Tipp: setze die Definition [mm] $\vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{k!(n-k)!}$ [/mm] ein!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Sa 04.02.2012 | | Autor: | Lovella |
auf die gefahr hin mich jetzt völlig unbeliebt zu machen:
du hast mir schon den weiteren weg gezeigt, wofür ich dir sehr sehr dankbar bin, aber den kann ich noch nicht gehen, weil mir immer noch nicht ganz klar ist was eigentlich die aufgabe ist.
Dies hier ist die ausgangslage: $ [mm] \integral_{0}^{1}{x^k(1-x)^{n-k}\ dx} \quad =\quad \bruch{1}{(n+1)\vektor{n \\ k}} [/mm] $ mit $ [mm] 0\leq [/mm] k [mm] \leq [/mm] n [mm] \in \IN \cup \{0\} [/mm] $
Dies gilt es mit vollständiger induktion zu beweisen.
im induktionsanfang setzte ich also $k=n$, also so:
$ [mm] \integral_{0}^{1}{x^n(1-x)^{n-n}\ dx} \quad =\quad \bruch{1}{(n+1)\vektor{n \\ n}} [/mm] $
darf ich fragen, warum $ k=n $ der induktionsanfang ist und nicht, ka, $ k=0 $?
Ich beantworte selber als fragen in einem anderen mathe-froum und weiß deshalb, wie total nervend es ist, wenn man jemandem etwas total ausführlich erklärt und sich voll mühe gibt für den, und der blickt es einfach nicht oder schlimmer noch, versucht es gar nicht erst zu blicken, sondern hofft auf noch mehr hilfe, bis er die lösung fast da stehen hat. Ich hoffe du glaubst jetzt nicht ich wäre eine von denen.
Ich seh den zusammenhang nicht zwischen dem oberen abschnitt deiner letzten antwort und dem unteren. Oh gott ich bin fast am heulen.... Ich hab mich glaub ich noch nie so bescheuert bei einer aufgabe angestellt...
im induktionsschritt muss ich dann von $ k $ auf $ k+1 $ gehen, oder? ![[wein]](/images/smileys/wein.gif "[wein]") ach man..... also so: $ [mm] \integral_{0}^{1}{x^{k+1}(1-x)^{n-k-1}\ dx} [/mm] $ und dann? ich weiß es einfach nicht....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 So 05.02.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> auf die gefahr hin mich jetzt völlig unbeliebt zu machen:
>
> du hast mir schon den weiteren weg gezeigt, wofür ich dir
> sehr sehr dankbar bin, aber den kann ich noch nicht gehen,
> weil mir immer noch nicht ganz klar ist was eigentlich die
> aufgabe ist.
> Dies hier ist die ausgangslage:
> [mm]\integral_{0}^{1}{x^k(1-x)^{n-k}\ dx} \quad =\quad \bruch{1}{(n+1)\vektor{n \\ k}}[/mm]
> mit [mm]0\leq k \leq n \in \IN \cup \{0\}[/mm]
>
> Dies gilt es mit vollständiger induktion zu beweisen.
>
> im induktionsanfang setzte ich also [mm]k=n[/mm], also so:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{x^n(1-x)^{n-n}\ dx} \quad =\quad \bruch{1}{(n+1)\vektor{n \\ n}}[/mm]
>
> darf ich fragen, warum [mm]k=n[/mm] der induktionsanfang ist und
> nicht, ka, [mm]k=0 [/mm]?
Das geht auch, aber siehe unten.
>
> Ich beantworte selber als fragen in einem anderen
> mathe-froum und weiß deshalb, wie total nervend es ist,
> wenn man jemandem etwas total ausführlich erklärt und
> sich voll mühe gibt für den, und der blickt es einfach
> nicht oder schlimmer noch, versucht es gar nicht erst zu
> blicken, sondern hofft auf noch mehr hilfe, bis er die
> lösung fast da stehen hat. Ich hoffe du glaubst jetzt
> nicht ich wäre eine von denen.
>
> Ich seh den zusammenhang nicht zwischen dem oberen
> abschnitt deiner letzten antwort und dem unteren. Oh gott
> ich bin fast am heulen.... Ich hab mich glaub ich noch nie
> so bescheuert bei einer aufgabe angestellt...
>
> im induktionsschritt muss ich dann von [mm]k[/mm] auf [mm]k+1[/mm] gehen,
> oder? ach man..... also so:
> [mm]\integral_{0}^{1}{x^{k+1}(1-x)^{n-k-1}\ dx}[/mm] und dann? ich
> weiß es einfach nicht....
Die Besonderheit hier ist, dass es sich nicht um eine vollständige Induktion handelt, denn man macht nur endlich viele, nämlich n Schritte. Daher hast du zwei Möglichkeiten: entweder du fängst bei $k=0$ an. Dann musst du im Induktionsschritt k um 1 erhöhen. Oder du fängst bei $k=n$ an, dann musst du im Induktionsschritt von k nach $k-1$ gehen. Beide Möglichkeiten sind gleich gut.
Der Unterschied ist, wie du deine partielle Integration durchführst: setzt du
[mm] u= x^k[/mm], [mm]v' = (1-x)^{k-n}[/mm]
dann gehst du von k zu $(k-1)$. Oder du setzt
[mm] v'= x^k[/mm], [mm]u = (1-x)^{k-n}[/mm],
dann gehst du von k zu $(k+1)$ .
Beides ist völlig äquivalent, denn du kannst beide Wege ineinander überführen.
Zum Beweis: in meiner letzten Antwort hatte ich deine partielle Integration so zusammengefasst:
[mm] I(n,k+1) = \bruch{k+1}{n-k} I(n,k) [/mm] für [mm] $0\le [/mm] k<n$.
Davon ausgehend schreibe ich die Induktion so hin:
1. Induktionsanfang mit $k=0$:
[mm] \integral_0^1 (1-x)^n dx = \bruch{1}{n+1} = \bruch{1}{(n+1)\vektor{n\\0}} [/mm] .
2. Induktionsschritt: sei die Aussage richtig für ein $k<n$. Dann ist
[mm] I(n,k+1) = \bruch{k+1}{n-k} \bruch{1}{(n+1)\vektor{n\\k}} = \bruch{1}{(n+1)\vektor{n\\k+1}} [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:14 Fr 03.02.2012 | | Autor: | Lovella |
ich werde es jetzt doch über k probieren. Du hast geschrieben, dass dies $ I(n,k) := [mm] \integral_{0}^{1}{x^k(1-x)^{n-k}\ dx} [/mm] $ das gescuhte integral ist.
Allerdings hast du dann folgendes geschrieben: $ [mm] u=x^k [/mm] $ und $ [mm] v'=(1-x)^{n-k} [/mm] $
Müsste es nicht $ [mm] u=x^{k+1} [/mm] $ und $ [mm] v'=(1-x)^{n-k-1} [/mm] $ heißen? Weil ich ja im Induktionsschritt bin.
Oder
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Fr 03.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[boese]](/images/smileys/boese.gif "[boese]"){kind=small}
![[liebegruesse]](/images/smileys/liebegruesse.gif "[liebegruesse]"){kind=small}
