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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Di 28.06.2005 | | Autor: | Langer |
Hallo!
Also habe folgende Frage aufgrund einer Mathe-Hausarbeit:
"Die Funktion [mm] f_t(x)= \bruch{t+ ln(x)}{x} [/mm] die x-Achse und die zur y-Achse parallele gerade durch den Hochpunkt von [mm] f_t(x)umschließen [/mm] eine endliche Fläche.
Bestimmen Sie deren Inhalt und interpretieren sie Ihr Ergebnis."
Folgendes habe ich errechnet:
Wir müssen die Stammfunktion der Gleichung errechnen:
die grenzen liegen -->
untere Grenze: Nullstelle des Graphen bei x = [mm] e^t [/mm] (aus vorhergehender Aufgabe errechnet)
obere Grenze: Parallele Gerade zur y-Achse durch den Hochpunkt, also x=e^(1-t)
also bilden wir das Integral:
[mm] A=\integral_{e^t}^{e^(1-t)} {\bruch{t+ ln(x)}{x} dx}
[/mm]
um davon die Stammfunktion zu bilden wenden wir die partielle Integration an, dann steht da:
[mm] A=\integral_{e^t}^{e^(1-t)} {\bruch{t+ ln(x)}{x} dx}
[/mm]
= [(t+ln(x)) [mm] \* [/mm] ln(x) ] - [mm] \integral_{e^t}^{e^(1-t)} {\bruch{t+ ln(x)}{x} dx}
[/mm]
----> hier geht es nicht weiter da sich das hintere Integral nicht auiflösen lässt!
Ich denke hier muss eine Substitution angewendet werden,
habe jedoch keine Ahnung wie das hier geht!
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen!
Ich habe diese Frage auch in keinem anderem Forum gestellt!
Vielen Dank schon im Vorraus!
Grüße Langer
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Hi, Langer,
> "Die Funktion [mm]f_t(x)= \bruch{t+ ln(x)}{x}[/mm] die x-Achse und
> die zur y-Achse parallele gerade durch den Hochpunkt von
> [mm]f_t(x)umschließen[/mm] eine endliche Fläche.
> Bestimmen Sie deren Inhalt und interpretieren sie Ihr
> Ergebnis."
>
> Folgendes habe ich errechnet:
>
> Wir müssen die Stammfunktion der Gleichung errechnen:
> die grenzen liegen -->
> untere Grenze: Nullstelle des Graphen bei x = [mm]e^t[/mm] (aus
> vorhergehender Aufgabe errechnet)
Nanu? Da käme ich aber auf [mm] x=e^{-t}!
[/mm]
Oder liegt irgendwo ein Tippfehler vor?
> obere Grenze: Parallele Gerade zur y-Achse durch den
> Hochpunkt, also x=e^(1-t)
Das hab' ich jetzt nicht nachgerechnet!
>
> also bilden wir das Integral:
>
> [mm]A=\integral_{e^t}^{e^(1-t)} {\bruch{t+ ln(x)}{x} dx}[/mm]
>
Also: Ich würde den Integranden zunächst mal in 2 Summanden zerlegen:
(Ich schreib's mal als unbestimmtes Integral: Die Grenzen kannst Du ja am Schluss selbst einsetzen)
[mm] \integral{(\bruch{t}{x}+ \bruch{ln(x))}{x} dx}
[/mm]
= t*ln(x) + [mm] \integral{\bruch{ln(x)}{x} dx} [/mm] = (***)
Das übrigbleibende Integral löst Du durch Substitution:
z = ln(x) => [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] => dz = [mm] \bruch{1}{x}*dx
[/mm]
und daher:
(***) = t*ln(x) + [mm] \integral{z*dz}
[/mm]
= t*ln(x) + [mm] \bruch{1}{2}z^{2} [/mm] +c (das c brauchst Du später natürlich nicht mehr!)
= t*ln(x) + [mm] \bruch{1}{2}(ln(x)^{2} [/mm] +c.
So: Und nun die Grenzen einsetzen!
(Aber: Kontrollier' die Grenzen lieber noch mal!
Die Nullstelle war ja schon mal falsch!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:50 Di 28.06.2005 | | Autor: | Langer |
Jap!
Sorry war ein Tipfehler:
Die Nullstelle liegt bei x= e^(-t)
Gruß und vielen Dank Langer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 Di 28.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Langer!
Dein Extremwert bei [mm] $x_E [/mm] \ = \ [mm] e^{1-t}$ [/mm] kann ich bestätigen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !!
Gruß
Loddar
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