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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:38 Mo 26.01.2009 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgendes Integral durch partielle Integration
[mm] \integral_{}^{}{e^x*cos(x) dx} [/mm] |
Hallo,
mit der Formelfür partielle Integration komme ich auf die Stammfunktion [mm] e^x*cos(x)+e^x*sin(x)
[/mm]
Jedoch steht in der Lösung das es [mm] 1/2e^x*cos(x)+1/2e^x*sin(x) [/mm] heißen muss. Nur woher kommt das 1/2?
Danke schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Mo 26.01.2009 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
das ist ein Vorzeichenproblem, das sich aus der Rechnung ergibt.
Bitte schreibe mal deine Rechnung auf!
LG djmatey
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Mo 26.01.2009 | | Autor: | nina1 |
Die Formel lautet ja:
[mm] \integral_{}^{}{u'(x)*v(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_ [/mm] u(x)*v(x)- u(x)*v'(x)
u'(x)= [mm] e^x [/mm] => [mm] u(x)=e^x
[/mm]
v(x)= cos(x)=> v'(x)=-sin(x)
=> eingesetzt in die Formel ergibt [mm] \integral_{}^{} {e^x*cos(x)- e^x*(-sin(x))}= \integral_{}^{} {e^x*cos(x)+ e^x*(sin(x))}
[/mm]
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nina!
Die Formel muss lauten:
[mm] $$\integral{u'(x)*v(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] u(x)*v(x)-\integral{u(x)*v'(x) \ dx}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Mo 26.01.2009 | | Autor: | nina1 |
Hallo,
nun habe ich mit beiden Formeln [mm] e^x*sin(x) [/mm] herausbekommen
=> [mm] \integral_{}^{}{u'(x)*v(x) dx} [/mm] = u(x)*v(x)| - [mm] \integral_{}^{}{u(x)*v'(x) dx}
[/mm]
[mm] =>u'(x)=e^x [/mm] und [mm] u(x)=e^x
[/mm]
=>v(x)=cos(x) und v'(x)=-sin(x)
[mm] e^x*cos(x)| [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{e^x*(-sin(x)) dx}
[/mm]
auf den Integrationsteil habe ich wie es in einem Buch stand nochmals die partielle Integration durchgeführt
[mm] \integral_{}^{}{e^x*(-sin(x)) dx}
[/mm]
=> [mm] u'(x)=e^x [/mm] und u(x)=e^(x)
=> v(x)=-sin(x) und v'(x)=-cos(x)
=>ergibt also mit der Formel [mm] e^x(-sin(x))-e^{x}*(-cos(x)) [/mm] = [mm] -e^{x}*sin(x)+e^x*cos(x)
[/mm]
mit dem oberen ersten Teil ergibt das
=> [mm] e^x*cos(x)| [/mm] - (- [mm] e^{x}*sin(x)+e^x*cos(x)) [/mm] = e^(x)*sin(x)
Kann mir jemand helfen und sagen wo mein Fehler liegt? Grüße.
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Hallo nina1,
> Hallo,
>
> nun habe ich mit beiden Formeln [mm]e^x*sin(x)[/mm] herausbekommen
>
> => [mm]\integral_{}^{}{u'(x)*v(x) dx}[/mm] = u(x)*v(x)| -
> [mm]\integral_{}^{}{u(x)*v'(x) dx}[/mm]
>
> [mm]=>u'(x)=e^x[/mm] und [mm]u(x)=e^x[/mm]
> =>v(x)=cos(x) und v'(x)=-sin(x)
>
> [mm]e^x*cos(x)|[/mm] - [mm]\integral_{}^{}{e^x*(-sin(x)) dx}[/mm]
>
> auf den Integrationsteil habe ich wie es in einem Buch
> stand nochmals die partielle Integration durchgeführt
>
> [mm]\integral_{}^{}{e^x*(-sin(x)) dx}[/mm]
>
> => [mm]u'(x)=e^x[/mm] und u(x)=e^(x)
> => v(x)=-sin(x) und v'(x)=-cos(x)
>
> =>ergibt also mit der Formel [mm]e^x(-sin(x))-e^{x}*(-cos(x))[/mm] =
Hier hast Du das Integralzeichen vergessen:
[mm]\integral_{}^{}{e^x*\left( \ -\sin\left(x\right) \ \right) \ dx}=e^{x}*\left( \ -\sin\left(x\right) \ \right)-\red{\integral_{}^{}}{e^{x}*\left( \ -\cos\left(x\right) \ \right) \ dx}[/mm]
> [mm]-e^{x}*sin(x)+e^x*cos(x)[/mm]
>
> mit dem oberen ersten Teil ergibt das
>
> => [mm]e^x*cos(x)|[/mm] - (- [mm]e^{x}*sin(x)+e^x*cos(x))[/mm] =
> e^(x)*sin(x)
>
> Kann mir jemand helfen und sagen wo mein Fehler liegt?
> Grüße.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Kalyma |
Hallo nina1,
die partielle Integration von [mm] \integral_{}^{}{e^{x}cos(x) dx} [/mm] ergibt im
1.Schritt : [mm] \integral_{}^{}{e^{x}cos(x) dx} [/mm] = [mm] e^{x}cos(x) [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{e^{x}(-sin(x)) dx} [/mm] =
= [mm] e^{x}cos(x) [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{e^{x}sin(x) dx} [/mm] (A)
Im 2.Schritt ergibt die partielle Integration von [mm] \integral_{}^{}{e^{x}sin(x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{e^{x}sin(x) dx} [/mm] = [mm] e^{x}sin(x) [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{e^{x}cos(x) dx} [/mm] (B)
Wenn man nun (B) in (A) einsetzt, ergibt sich für [mm] \integral_{}^{}{e^{x}cos(x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{e^{x}cos(x) dx} [/mm] = [mm] e^{x}cos(x) [/mm] + [mm] e^{x}sin(x) [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{e^{x}cos(x) dx}
[/mm]
Nun bringt man die Integrale auf der linken Seite und bekommt :
[mm] 2\integral_{}^{}{e^{x}cos(x) dx} [/mm] = [mm] e^{x}cos(x) [/mm] + [mm] e^{x}sin(x) \gdw
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{}^{}{e^{x}cos(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (e^{x}cos(x) [/mm] + [mm] e^{x}sin(x))
[/mm]
Damit ist bewiesen, dass [mm] \integral_{}^{}{e^{x}cos(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (e^{x}cos(x) [/mm] + [mm] e^{x}sin(x)).
[/mm]
Viele Grüsse,
Kalyma.
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