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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 So 04.02.2007 | | Autor: | Waschi |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Integral von 1 bis [mm] e^{2} [/mm] der Funktion f(x)=2ln(x) |
Hallo zusammen,
ich habe hier versucht die Aufgabe zu lösen, jedoch erfolglos. Wer kann mir weiterhelfen meinen Fehler zu finden? Das Ergebnis soll lauten:16,78.
Hier mein Rechenweg:
[mm] \integral_{1}^{e^{2}}{f(x) dx}
[/mm]
f(x)=2*ln(x)=u´*v
u=2x u´=2
v=ln(x) [mm] v´=\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{e^{2}}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{1}^{e^{2}}{u´*v dx}=\integral_{1}^{e^{2}}{u*v dx}-\integral_{1}^{e^{2}}{u*v´ dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{1}^{e^{2}}{2x*ln(x) dx}-\integral_{1}^{e^{2}}{2*\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{1}^{e^{2}}{2x*ln(x) dx}-\integral_{1}^{e^{2}}{2 dx}
[/mm]
wenn ich das jetzt ausrechne, kommt bei mir alles andere als das gewollte Ergebnis heraus.
Vielen Dank für die Hilfe
Waschi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 So 04.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
deine Funktion lautet f(x)=2*ln(x)
Wenn du dann das Integral berechnest, kannst du die als konstanten Faktor erstmal vor das Integral ziehen:
[mm] 2*\integral_{1}^{e^{2}}{ln(x) dx}
[/mm]
Nun gibt es zwei Möglichkeiten, die Stammfunktion zu finden:
Entweder, man weiß, dass die Stammfunktion zu ln(x) x*ln(x)-x lautet, oder man denkt sich folgendes:
ln(x)=1*ln(x)
Und berechnet das Integral dann mit Hilfe der Partiellen Integration...
Kannst es ja mal versuchen.
Slaín,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 So 04.02.2007 | | Autor: | Waschi |
Ich wusste nicht dass man die 2 vors Integral schreiben kann. Dann geht es auch auf. Nur verstehe ich nicht, warum ich die 2 erst vor das Integral ziehen muss...
Kann ich die partielle Integration nicht auch mit der 2 im Integral durchführen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 So 04.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Ja, sicher kannst du die zwei einfach dort stehen lassen.
Aber konstante Faktoren ziehe ich persönlich immer direkt aus dem Integral raus, damit ich mir darüber keine Gedanken mehr machen muss.
Dann sieht deine Rechnung folgendermaßen aus:
[mm] \integral_{}^{}{u'v }=uv-\integral_{}^{}{uv' }
[/mm]
dann wähle ich u'=2 u=2x
[mm] v'=\bruch{1}{x} [/mm] v=ln(x)
Und dann bekomme ich
[mm] \integral_{}^{}{2ln(x)dx}=2xln(x)-\integral_{}^{}{2x*\bruch{1}{x}})
[/mm]
=2xln(x)-2x = 2(xln(x)-x)
Slaín,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 So 04.02.2007 | | Autor: | Waschi |
Danke, mir war einfach nicht bewusst, dass der 2. Term ja noch ein Integral ist und davon ja noch die Stammfunktion gebildet werden muss. Jetzt ist mir einiges klarer geworden.
Gruß Waschi
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