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Hallo,
ich habe eine allgemeine Frage zur partiellen Ableitung. Als Beispiel habe ich die folgende Funktion:
[mm]f(0,0):=0[/mm] und [mm]f(x,y)=\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}[/mm] fuer [mm](x,y)\neq (0,0)[/mm]
Ich moechte die partielle Ableitung nach x im Punkt [mm]x_0=(0,0)[/mm] bestimmen.
Bilde ich die partielle Ableitung ueber die Defintion der Richtungsableitung so habe ich([mm]u=e_1=(1,0)[/mm] da ich ja die Ableitung nach x moechte): [mm]\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\cdot u)-f(x_0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{f(t,0)-0}{t}[/mm] ist gleich [mm]\lim_{t\to 0}\frac{1}{t}\frac{t^3}{t^2}=1[/mm]
Wenn ich nun die partielle Ableitung ("handwerklich" - also alles ausser x als konstant betrachten und dann nach x differenzieren) nach x bilde, so erhalte ich:
[mm]
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{x^4-2xy^3+3x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
Betrachte ich nun die Folge [mm]x_n=(0,\frac{1}{n})[/mm] und setze dies in f ein, so erhalte ich: [mm]\lim_{n\to \infty} f(x_n)=0[/mm]
Noch verwirrender wird es, wenn ich die Folge [mm]y_n=(\frac{1}{n},0)[/mm] in f einsetze, dann ist [mm]\lim_{n\to \infty} f(y_n)=1[/mm]. Was ja im Prinzip nur gegen die Stetigkeit der partiellen Ableitung nach x in (0,0) spricht.
Wo ist mein Fehler? Sollte nicht auf beide Arten das gleiche rauskommen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Sa 14.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Christian!
Du hast alles richtig gemacht! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Die Auflösung ist ganz einfach:
Die partiellen Ableitungen existieren, aber sie sind nicht stetig!
Es ist also hier ein Unterschied, ob ich die partielle Ableitung an der Stelle $(0,0)$ berechne oder erst für einen Punkt $(x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0)$ und dann den Grenzübergang $(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$ (wie auch immer) vollziehe.
Das ist kein Paradoxon, sondern du hast einfach ein interessantes Beispiel für eine Funktion gefunden, für die die partiellen Ableitungen nach eine Variablen existieren, diese aber nicht stetig sind.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Sa 14.05.2005 | | Autor: | christianl |
Danke, damit ist mein (mathematisches) Weltbild wieder geradegerueckt :)
gruss, Chris.
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