partiell integriert: (cosx)^2 < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Di 27.09.2005 | | Autor: | scratchy |
Hallo,
das unbestimmte Integral [mm] \integral_{}^{} {cos^{2}x dx} [/mm] soll lt. Aufgabenstellung partiell integriert werden.
mein Lösungsansatz:
[mm] \integral_{}^{} {cos^{2}x dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{} [/mm] {cos(x) * cos(x) dx}
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {u(x)*v'(x) dx} = u(x) * v(x) - [mm] \integral_{}^{} [/mm] {u'(x)*v(x) dx}
u(x) = cos(x), u'(x) = -sin(x)
v(x) = sin(x), v'(x) = cos(x)
eingesetzt:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {cos(x) * cos(x) dx} = cos(x)*sin(x) - [mm] \integral_{}^{} [/mm] {-sin(x) * sin(x) dx}
= cos(x)*sin(x) + [mm] \integral_{}^{} [/mm] {sin(x) * sin(x) dx}
nun bin ich aber auch nicht weiter :-(
Ich habe es dann via Substitution probiert:
laut Tafelwerk ist (warum auch immer) [mm] cos^{2}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{cos(2x)}{2}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{2} + \bruch{cos(2x)}{2} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{2} dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral_{}^{} [/mm] {cos(2x) dx}
2x habe ich z gesetzt, so ist dx = [mm] \bruch{dz}{2}
[/mm]
= [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{2} dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral_{}^{} [/mm] {cos(z) * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] dz}
= [mm] \bruch{x}{2} [/mm] + [mm] \bruch{sin(z)}{4} [/mm] +c
= [mm] \bruch{x}{2} [/mm] + [mm] \bruch{sin(2x)}{4} [/mm] +c
(laut Lösung stimmt das)
Nun sollte ja eigentlich alles ok sein. Aber die Aufgabe sollte halt wie gesagt partiell gelöst werden und ich wäre für Hinweise/Vorschläge sehr dankbar.
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Hallo scratchy!
Laut dem trigonometrischen Pythagoras gilt doch:
[mm] $\sin^2(x) [/mm] + [mm] \cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$
Damit kannst Du den Ausdruck [mm] $\sin^2(x)$ [/mm] im hinteren Integral ersetzen durch:
[mm] $\sin^2(x) [/mm] \ = \ 1 - [mm] \cos^2(x)$
[/mm]
Kommst Du damit nun zum gewünschten Ziel?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Di 27.09.2005 | | Autor: | Herby |
Hi Scratchy,
beachte noch, dass hinter dem neuen Integral das alte wieder auftauch.
Du hast dann links 2*I stehen, durch welche (nämlich die 2) du dann teilen musst. Daher der Faktor [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Gruß
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Di 27.09.2005 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Herby!
> beachte noch, dass hinter dem neuen Integral das alte
> wieder auftaucht.
Alte Petze  ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Di 27.09.2005 | | Autor: | Herby |
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 Di 27.09.2005 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Herby!
> Ob ihrs mir glaubt oder nicht, das ist mir eben von
> alleine aufgefallen.
Siehste mal ... war also gar nicht nötig gewesen!
Gruß vom
Roadrunner
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