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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Di 13.03.2007 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Bestimmen sie die reelle und komplexe PBZ der rationalen Fkt.
[mm] f(x)=\bruch{1}{x^5-3x^3-4x} [/mm] |
Hallo Leute,
ich habe hier einen Ansatz und mein Kumpel sagt das da am einfachsten mit der Zuhaltemethode weiter kommt.
Ich kann das aber nicht mehr nach vollziehen wie das hier gemacht wurde.
Also:
i) da der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist fällt die Polynomdivision weg.
ii) Nullstellen des Nenners finden.
[mm] x^5-3x^3-4x=0
[/mm]
[mm] x(x^4-3x^2-4)=0
[/mm]
jetzt substituieren mit [mm] z=x^2
[/mm]
[mm] 0=x(z^2-3z-4)
[/mm]
0=x(z-4)(z+1)
z=-1 und z=4 sind die Nst. von [mm] z^2-3z-4
[/mm]
zurücksubstituieren mit [mm] z=x^2
[/mm]
[mm] 0=x(x^2-4)(x^2+1)
[/mm]
0=x(x-2)(x+2)(x-i)(x+i) x=2, -2 sind die Nst. von [mm] x^2-4
[/mm]
x=i, -i sind die Nst. von [mm] x^2+1
[/mm]
damit erhalte ich
f(x)= [mm] \bruch{1}{x^5-3x^3-4x}=\bruch{1}{x(x-2)(x+2)(x-i)(x+i)}
[/mm]
woraus ich folgendes gemacht habe:
[mm] \bruch{1}{x^5-3x^3-4x}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-2}+\bruch{C}{x+2}+\bruch{D}{x-i}+\bruch{E}{x+i}
[/mm]
so und jetzt soll man hier mit weniger Rechenaufwand zuerst die komplexe Zerlegung mittels der Zuhaltemethode durchführen.
Ich komme da nicht mehr weiter.
Vielen Dank für eure Hilfe Gruß hooover
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Di 13.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
Es gilt ja
[mm] \bruch{1}{x(x-2)(x+2)(x-i)(x+i)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-2}+\bruch{C}{x+2}+\bruch{D}{x-i}+\bruch{E}{x+i}
[/mm]
Multiplikation mit einem Nenner der rechten Seite, z.B. (x-2) führt zu
[mm] \bruch{1}{x(x+2)(x-i)(x+i)}=B+(x-2)(\bruch{A}{x}+\bruch{C}{x+2}+\bruch{D}{x-i}+\bruch{E}{x+i})
[/mm]
Da die Gleichung für alle x gilt, kann man x=2 wählen, dann folgt
[mm] \bruch{1}{40}=B
[/mm]
Diese Methode für alle Nenner durchführen führt zu
[mm] A=-\br{1}{4}
[/mm]
[mm] B=\bruch{1}{40}
[/mm]
[mm] C=\bruch{1}{40}
[/mm]
[mm] D=\br{1}{10}
[/mm]
[mm] E=\br{1}{10}
[/mm]
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Di 13.03.2007 | | Autor: | hooover |
Vielen Dank für die Antwort,
muß aber leider gestehen das ich das immernoch nicht sehe wie man hier auf x=2 kommt und wenn ich das jetzt mal so hinnehme das ich x=2 wähle, ist mir auch nicht nicht klar wie ich dann auf auf [mm] B=\bruch{1}{40} [/mm] komme.
Eine, naja "Schritt für Schritt Erklärung" ist wohl etwas viel verlangt, aber bitte helft mir nochnal
Vielen Gruß hooover
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Hallo hoooover,
ich will mal 2 Schritte in ullims Rechnung verdeutlichen, also bis hierhin ist es klar, oder?
[mm] \bruch{1}{x(x-2)(x+2)(x-i)(x+i)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-2}+\bruch{C}{x+2}+\bruch{D}{x-i}+\bruch{E}{x+i}
[/mm]
Das ist der Ansatz zur PBZ
Nun ist x=2 eine Nullstelle des Nenners, für x=2 sind also beide Seiten nicht definiert so wie sie dastehen.
So für [mm] x\ne2 [/mm] kann man doch beide Seiten mit (x-2) multiplizieren ohne die Lösung zu verändern, also
[mm] \bruch{1}{x(x+2)(x-i)(x+i)}=(x-2)\left(\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-2}+\bruch{C}{x+2}+\bruch{D}{x-i}+\bruch{E}{x+i}\right)=(x-2)\left(\bruch{A}{x}+\bruch{C}{x+2}+\bruch{D}{x-i}+\bruch{E}{x+i}\right)+(x-2)\cdot{}\bruch{B}{x-2}=(x-2)\left(\bruch{A}{x}+\bruch{C}{x+2}+\bruch{D}{x-i}+\bruch{E}{x+i}\right)+B
[/mm]
Dies alles gilt für [mm] x\ne2.
[/mm]
Jetzt "schummelt" man ein bisschen und guckt, was denn nach dieser Umformung für x=2 auf beiden Seiten passiert.
Nun links stünde [mm] \bruch{1}{2(2+2)(2-i)(2+i)}=\bruch{1}{40} [/mm] [nachrechnen!]
und auf der rechten Seite [mm] B+0\cdot{} [/mm] irgendwas = B
also [mm] B=\bruch{1}{40}
[/mm]
ok soweit? Das ist ein mathematisch etwas "geschummeltes" Vorgehen, weil man ja für die Umformung extra [mm] x\ne2 [/mm] vorausgesetzt hat.
So nun ist auch x=0 eine Nullstelle, wir multiplizieren mal beide Seiten der obersten Gleichung mit x (für [mm] x\ne0)
[/mm]
Das ergibt: [mm] \bruch{1}{(x-2)(x+2)(x-i)(x+i)}=x\cdot{}\left(\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-2}+\bruch{C}{x+2}+\bruch{D}{x-i}+\bruch{E}{x+i}\right)
[/mm]
[mm] =A+x\cdot{}\left(\bruch{B}{x-2}+\bruch{C}{x+2}+\bruch{D}{x-i}+\bruch{E}{x+i}\right)
[/mm]
Nun schummelt man wieder und schaut, was denn passiert, wenn x doch =0 wäre.
Dann haben wir auf der linken Seite: [mm] \bruch{1}{(0-2)(0+2)(0-i)(0+i)}=-\bruch{1}{4} [/mm] und auf der rechten Seite [mm] A+0\cdot{}irgendwas [/mm] = A
Mit den anderen Nullstellen ebenso
Hoffe, ich konnte das einigermaßen nahebringen ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Lieben Gruß
schachuzipus
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