part. Ableitungen höh. Ordnung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f,g:\IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] zweimal stetig diffbar und sei [mm] F:\IR^2 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , F(x,y)=f(x+g(y))
a) bestimmen sie den Gradienten und alle partiellen Ableitungen 2. Ordnung von F.
b) Zeigen Sie: [mm] F_x F_{xy} [/mm] = [mm] F_y F_{xx}
[/mm]
c) Sei h = F(sint, cos t) gegeben. Berechnen Sie die 1. beiden Ableitungen von h. |
Hi,
bin er bei der a)
will ich jetzte [mm] \frac{\partial F}{\partial x}(x,y) [/mm] berechnen, muss ich dann die Kettenregel anwenden oder einfach:
[mm] \frac{\partial F}{\partial x}(x,y) [/mm] = f'(x+g(y))*(x+g(y))' = f'(x+g(y)) *1 = f'(x+g(y)), also einfach inner mal äußere Ableitung nehmen?
Snafu
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Hallo SnafuBernd,
> Sei [mm]f,g:\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] zweimal stetig diffbar und sei [mm]F:\IR^2[/mm]
> -> [mm]\IR[/mm] , F(x,y)=f(x+g(y))
> a) bestimmen sie den Gradienten und alle partiellen
> Ableitungen 2. Ordnung von F.
> b) Zeigen Sie: [mm]F_x F_{xy}[/mm] = [mm]F_y F_{xx}[/mm]
> c) Sei h = F(sint,
> cos t) gegeben. Berechnen Sie die 1. beiden Ableitungen von
> h.
> Hi,
>
> bin er bei der a)
> will ich jetzte [mm]\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)[/mm]
> berechnen, muss ich dann die Kettenregel anwenden oder
> einfach:
> [mm]\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)[/mm] = f'(x+g(y))*(x+g(y))'
> = f'(x+g(y)) *1 = f'(x+g(y)), also einfach inner mal
> äußere Ableitung nehmen?
Ja.
>
> Snafu
Gruss
MathePower
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Hi,
somit hätte ich zu a)
[mm] \frac{\partial F}{\partial x}(x,y) [/mm] = f'(x+g(y))
[mm] \frac{\partial F}{\partial y}(x,y) [/mm] = f'(x+g(y)) * g'(y)
[mm] \frac{\partial^2 F}{\partial^2 x}(x,y) [/mm] = f''(x+g(y))
[mm] \frac{\partial^2 F}{\partial^2 y}(x,y) [/mm] = f''(x+g(y)) [mm] *g'(y)^2 [/mm] + f'(x+g(y))g''(y)
[mm] \frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x}(x,y) [/mm] = f''(x+g(y)) g'(y)
Jetzt ist nach dem Gradienten gefragt? Jetzt weiß ich nicht ob er hier 2. Ordnung sein soll oder nicht? Gibts da überhaupt ein Unterschied? Sprich ist der Gradient 2. Ordnugen der Vektor alle partieller 2er Ableitungen?
[mm] grad_2 [/mm] F(x,y) = (f''(x+g(y)) ,f''(x+g(y)) [mm] *g'(y)^2 [/mm] + f'(x+g(y))g''(y), f''(x+g(y)) g'(y)) ?
Snafu
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Di 06.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
grad ist IMMER [mm] (F_x,F_y)^T
[/mm]
sowas wie grad 2ter Ordnung gibts nicht.
Gruss leduart
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Hi,
ok dann ist hier grad F(x,y) = [mm] (\frac{\partial F}{\partial x}(x,y),\frac{\partial F}{\partial y}(x,y))
[/mm]
= (f'(x+g(y)), f'(x+g(y)) * g'(y)) ?
Snafu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Di 06.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
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> ok dann ist hier grad F(x,y) = [mm](\frac{\partial F}{\partial x}(x,y),\frac{\partial F}{\partial y}(x,y))[/mm]
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> = (f'(x+g(y)), f'(x+g(y)) * g'(y)) ?
Stimmt
FRED
>
> Snafu
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