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| Aufgabe | Gesucht ist die Gleichung der Parabel f mit folgenden Eigenschaften:
a) Die Punkte P1 (-1|11), P2 (0|5) und P3 (2|5) liegen auf dem Graphen von f
b) S (1|2) ist Scheitelpunkt von f, P (2|5) ist eine weiterer Punkt von f.
c) Der GRaph von f schneidet die x-Achse bei x= 0 und x = 4. Im koordinatensprung ist die Gerade t(x) = x Tangente an den GRaphen von f |
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Bitte helft mir!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Sa 16.12.2006 | | Autor: | DesterX |
Hi Maira -
Gesucht ist ja in allen 3 Fällen eine Parabel mit den gewünschten Eigenschaften. Das ist nicht anderes als eine Funktion 2. Grades der Form: [mm] f(x)=ax^2+bx+c [/mm] , wobei wir (a,b,c) so ermitteln wollen, dass genannte Bedingungen erfüllt sind.
Fangen wir einfach mal mit der a) an, die ich dir etwas genauer erläutere:
Die Funktion soll den Punkt P2(0,5) durchlaufen, dh:
[mm] f(0)=5=a*0^2+b*0+c \gdw [/mm] c=5
Der erste Parameter c ist also schon berechnet. Diese kannst du für die folgenden Gleichungen also schon weiter verwenden (überall c=5 setzen)-
P1(-1,11) P2(2,5) soll ebenfalls ein Punkt sein, also:
f(-1)=11 bzw f(2)=5
Hiermit lassen sich a und b bestimmen!
zu b)
Hier sind nun 2 Punkte gegeben, allerdings wissen wir über den Punkt S noch mehr (dies ist die 3. Bedingung)- Nämlich, dass S Scheitelpunkt sein soll .. Dh, dort liegt entweder ein Minimum/Maximum vor! Wie könnte also die Bdg. lauten?
zu b)
Erneut sind 2 Punkte bekannt- hierzu gehst du vor wie in a)
Die 3. Bedingung erhalten wir durch die Steigung der Tangente: Diese istim Berührpunkt gleich der Steigung deiner gesuchten Funktion.
Solltest du noch Fragen haben: MElde dich! Ansonsten viel Erolg beim Rechnen wünscht:
Dester
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gute erstmal vielen dank aber viel weiter bin ich leider noch nicht gekommen.
zu a)
also ich kenne jetzt den zweiten parameter der ist c= 5
über die anderen weiß ich
11 =a + b + 5
5 = 4 a + 2b + 5
und wie bestimme ich hier jetzt a und b?
b) hier sind die Punkte S = (1|4) P1 (2|5) und P2 (0|5)
also :
5 = c
2 = a + b + 5
5 = 4a + 2b + 5
also würde hier wieder das selbe wie bei nummer a zu treffen wie berechne ich nun a und b
c)
Hier wären ja dann die punkte P1 (0|0) P2 (0|4) und S (2|- ? ) (durch tangente)
wie bekomme ich hier den zweiten Punkt von S herraus
Es wäre schon wenn rechenwege dabei sind damit ich das alles nachvoll ziehen kann
Ich bedanke mich schon mal
mfg Maira P.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 So 17.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo mal wieder
> gute erstmal vielen dank aber viel weiter bin ich leider
> noch nicht gekommen.
> zu a)
> also ich kenne jetzt den zweiten parameter der ist c= 5
> über die anderen weiß ich
> 11 =a + b + 5
> 5 = 4 a + 2b + 5
>
> und wie bestimme ich hier jetzt a und b?
Indem du eine Gleichung nach z.B. a umstellst und in die andere einsetzt. Also
11=a+b+5
[mm] \gdw [/mm] b=6-a
Das in die andere Gleichung einsetzen:
5=4a+2b+5
[mm] \gdw [/mm] 0=4a+2(6-a)
[mm] \gdw [/mm] -2=2a
[mm] \gdw [/mm] a=-1
>
> b) hier sind die Punkte S = (1|4) P1 (2|5) und P2 (0|5)
> also :
> 5 = c
> 2 = a + b + 5
> 5 = 4a + 2b + 5
Nicht ganz: Es gilt f(1)=4, also ist das GLS
[mm] \vmat{c=5\\ \red{4}=a+b+5 \\5=4a+2b+5}
[/mm]
[mm] \gdw\vmat{c=5\\-1=a+b\\0=2a+b}
[/mm]
Jetzt machst du wie oben weiter.
>
> also würde hier wieder das selbe wie bei nummer a zu
> treffen wie berechne ich nun a und b
>
> c)
> Hier wären ja dann die punkte P1 (0|0) P2 (0|4) und S (2|-
> ? ) (durch tangente)
> wie bekomme ich hier den zweiten Punkt von S herraus
Hier brauchst du die Steigung der Parabel? Habt ih schon die Formel für Die Steigung der Parabel behandelt? Weil diese muss an der Stele mit der Steigung der Tagnete übereinstimmen. Hier ist deine Tangente ja t(x)=x=1x+0
Also ist die Steigung der Tangente m=1.
Das heisst, die Steigung an der Stelle x=0 muss 1 betragen.
Dieses müsstest du jetzt in die Steigunsformel einsetzen.
>
> Es wäre schon wenn rechenwege dabei sind damit ich das
> alles nachvoll ziehen kann
> Ich bedanke mich schon mal
> mfg Maira P.
>
Jetzt klarer?
Marius
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das mit dem f(1)=4 verstehe ich nicht warum ist das soo?
kannst du das mal bitte erklären
und c vielleicht auch noch mal genauer erläutern das wäre echt super
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 So 17.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> das mit dem f(1)=4 verstehe ich nicht warum ist das soo?
> kannst du das mal bitte erklären#
Sorry, mein Fehler, Der Punkt ist (1/2), also f(1)=2, wie du schon sagtest.
>
> und c vielleicht auch noch mal genauer erläutern das wäre
> echt super
Kennst du die Formel für die Steigung einer Parabel?
Ich meine
m=2ax+b.
Jetzt weisst du, dass m=1, an der Stelle x=0, also
bekommst du:
[mm] \vmat{c=0\\4a+2b+c=0\\1=2*a*0+b}
[/mm]
[mm] \gdw\vmat{c=0\\2a+b=0\\1=b}
[/mm]
Das sollte jetzt kein Problem mehr darstellen.
Marius
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also a und b habe ich jetzt fertig und auch richtig
aber bei c komme ich leider noch nicht weiter
ich habe noch nicht wirklich von einer Parabelsteigung gehört...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 So 17.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo:
An fast jeden Graphen einer Funktion f(x) kann man in einem Punkt [mm] P(x_{0}/f(x_{0}) [/mm] eine Tangente anlegen. Diese ist eine Gerade der Form t(x)=mx+n.
In deinem Fall ist f eine Parabel der Form f(x)=ax²+bx+c und dann gilt:
[mm] m=2ax_{0}+b
[/mm]
Jetzt hast du aber die Tangente und dein [mm] x_{0} [/mm] in der Aufgabe gegeben.
[mm] t(x)=x=\red{1}x+0 [/mm] und [mm] x_{0}=0
[/mm]
Also gilt:
1=2*a*0+b
[mm] \gdw [/mm] b=1
Die beiden anderen Gleichungen hast du ja schon ermittelt, so dass du das GLS bekommst, dass ich dir in dem Post zuvor gegeben habe.
Marius
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ich versteh immer noch nicht wo punkt S nun liegt
denn diesen benötige ich ja um zu rechnen
ach man :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 So 17.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Dieser Punkt S ist in deiner Aufgabenstellung gegeben.
"Im koordinatensprung ist die Gerade t(x) = x Tangente an den GRaphen von f"
Das heisst S ist der Ursprung und der Hat die koordinaten (0/0)
Marius
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Der graph von f schneidet die x Achse bei x= 0 und x= 4
dies sind die Nullstellen des Graphens als p1(0|0) und (4|0)
da kann S doch nicht 0|0 sein
S wird durch die Tangente geschnitten und diese geht durch 0|0
da es eine parabel ist weis man aufjedenfall schon das x = 2 ist
aber was ist y?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 So 17.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Wie kommst du auf x=2?
Die Tangente hat nur einen gemeinsamen Punkt mut dem Graphen, den Beruührpunkt.
Der Scheitelpunkt hat die x-Koordinate 2, aber das hilft dir zum Berechnen der Parabelgleichung nicht, da du f(2) nicht kennst.
Du weisst aber, dass f(0)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] c=0
und f(4)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 4a+2b=0
Und mit der Tangentengeschichte 1=b, wie ich dir vorhin vorgerechnet habe.
Den Schnittpunkt zwischen Graph und einer Tangente, habe ich missverständlicherweise auch mit S bezeichnet, genau wie den Scheitelpunkt. Diese sind aber hier nicht identisch, sorry für die missglückte Notation.
Marius
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ich dachte die tangente scheidet die Parabel immer im Scheitelpunkt...
trotzdem weiß ich immer noch nicht wie ich rechnen muss sorry....
aber irgendwie scheine ich aufem schlau zu stehen...
habe vorher noch nie mit tangenten gerechnet
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 So 17.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal.
In Jedem Punkt [mm] P(x_{p}/(f(x_{p})) [/mm] gibt es eine Solche Tangente der Form t(x)=mx+n
Diese hat die Steigung:
[mm] m=2ax_{p}+b
[/mm]
Jetzt hast du ja die Tangente mit [mm] t(x)=x=\red{1}x [/mm] und den Beruührpunkt [mm] P(\green{0}/f(0)) [/mm] schon vorgegeben, deine Parameter a und b der Parabel aber nicht. f(0) kennst du zwar auch schon, aber das für diesen Teil erstmal uninteressant. Klar brauchst du f(0)=0 für die Gleichung c=0, aber hier halt nicht.
Es gilt also nun: [mm] \red{1}=2a*\green{0}+b
[/mm]
Und das ist neben den bekannten Gleichungen halt die dritte noch fehlende Gleichung für das LGS
[mm] \vmat{c=0\\2a+b=0\\\blue{1=b}}
[/mm]
Jetzt etwas klarer?
Marius
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ahhh ich glaube ich habe es gleich
also von ganz anfang
P1
0 = 0a + 0b +c
0=c
P2
0 = 4²a + 4b + 0
t(x) = x = 1x + 0 P ( 0 /f(0) )
t(x) = mx + n
2ax + b (ist das eine vorgeschriebene Formel) wie kommstdu von t(x) = mx+ n auf diese?
1 = 2a 0 + b (woher weiß ich das m 1 ist? weil einfahc nur x da steht?)
1 = b
somit ist a = -0,25
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 So 17.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Die 2a kommen von der Formel [mm] m=\red{2a}x_{p}+b
[/mm]
Das ganze könnte ich dir über den Begriff der Ableitung erklären, aber ich glaube, das ginge hier viel zu weit ins Detail und ins unbekannte Terrain.
Oder meinst du die zweite Gleichung des GLS?
[mm] 4a+2b+\underbrace{c}_{=0}=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 4a+2b=0
[mm] \gdw [/mm] 2(2a+b)=0
[mm] \gdw [/mm] 2a+b=0
Marius
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