p-dim Mannigfaltigkeiten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Sa 26.08.2006 | | Autor: | Geddie |
| Aufgabe | | Eine Menge M [mm] \subset \IR^n [/mm] heißt eine p-dimensionale Untermannigfaltigkeit, falls es zu jedem Punkt [mm] x_{0} \in [/mm] M eine Umgebung U = [mm] U(x_{0}) \subset \IR^n, [/mm] ein Parametergebiet P [mm] \subset \IR^p, [/mm] einen Parameter [mm] u_{0} \in [/mm] P und ein p-dimensionales glattes parametrisiertes Flächenstück [mm] \phi: [/mm] P [mm] \rightarrow \IR^n [/mm] mit [mm] \phi(u_{0}) [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] und [mm] \phi(P) [/mm] = M [mm] \cap [/mm] U gibt. |
N'Abend zusammen!
Steh kurz vor meiner Ana Fachprüfung und bin mich da intensiv drauf am vorbereiten!
Bei diesem Thema hab ich aber bis jetzt noch 0 Ahnung!!!
Ich kann mir unter dieser Definition einer p-dimensionalen Untermannigfaltigkeit überhaupt nichts vorstellen!!
Kann einer Licht in mein Dunkel führen?
LG
Gerd
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Hallo.
> Eine Menge M [mm]\subset \IR^n[/mm] heißt eine p-dimensionale
> Untermannigfaltigkeit, falls es zu jedem Punkt [mm]x_{0} \in[/mm] M
> eine Umgebung U = [mm]U(x_{0}) \subset \IR^n,[/mm] ein
> Parametergebiet P [mm]\subset \IR^p,[/mm] einen Parameter [mm]u_{0} \in[/mm]
> P und ein p-dimensionales glattes parametrisiertes
> Flächenstück [mm]\phi:[/mm] P [mm]\rightarrow \IR^n[/mm] mit [mm]\phi(u_{0})[/mm] =
> [mm]x_{0}[/mm] und [mm]\phi(P)[/mm] = M [mm]\cap[/mm] U gibt.
fehlt da nicht noch was? bzw.: was ist ein p-dim. glattes parametrisiertes Flächenstück?
Zur Motivation dieser Definition: verbalisiert heißt das einfach nur (diesen ganzen Umgebungsschrott mal weggelassen):
Eine $p$-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist ein Objekt, daß ich an jeder Stelle als Graph einer "vernünftigen" Funktion in p Variablen schreiben kann.
Eine alternative, aber äquivalente Definition ist, daß ich zu jedem Punkt [mm] x_0 [/mm] der Menge eine Umgebung U sowie eine glatte Abbildung [mm] $\phi:U\cap M\to \IR^p\times\{0\}$ [/mm] dergestalt, daß [mm] $\phi^{-1}:\phi(U\cap M)\to [/mm] M$ ein Diffeomorphismus ist.
Diese Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] nennt man auch "Karte" von M um [mm] x_0.
[/mm]
Was bedeutet das nun auf deutsch? Ich muß für jeden Punkt in M eine Abbildung finden, die mir die Menge (zumindest in einer Umgebung meines Punktes) zu einem p-dimensionalen Gebilde "flachklopft", und zwar nicht irgendwie wild, sondern möglichst anständig differenzierbar.
Ein perfektes Beispiel (das obendrein noch Motivation für diese Definition war) ist unsere Erde. Die ist ja nun (wenn wir nur die Oberfläche betrachten) im Prinzip eine Sphäre im dreidimensionalen Raum.
n ist also 3. Und was ist p? Nun, wenn wir an der Nordsee oder sonst irgendwo im Flachland stehen, kommts uns so vor, als würden wir auf ner Ebene stehen, und diese ist nunmal 2-dimensional.
Und wie um unsere Definition zu bestätigen, gibts für jeden Punkt auf der Erde (z.B. der Eichenweg 11 in 65614 Beselich Heckholzhausen, Germany (oder wenn man lieber etwas mathematischer wäre: 50°11'42'' N, 8°9'37'' E)) eine Umgebung, nennen wir sie in unserem Beispiel "Westerwald", oder gar "Deutschland" eine Abbildung, die uns das ganze auf 2 Dimensionen "flachklopft", so daß wir es auf einen Tisch legen können, wir nennen das ganze dann "Deutschlandkarte" oder gar ![[]](/images/popup.gif) "Hachenburger Bierdeckel". Spaß beiseite. Der langen Rede kurzer Sinn: p=2, und das Konzept einer Mannigfaltigkeit ist einfach:
Eine (Unter-)Mannigfaltigkeit ist eine gekrümmte Fläche, die lokal "wie eine gerade" (p-dimensionale) Fläche "aussieht".
Zum Mathematischen noch ein Wort: Es gibt viele äquivalente Eigenschaften, die eine UMft charakterisieren, ich persönlich finde die mit der Karte am einprägsamsten.
Man fordert eben, daß es so eine "Flachklopfabbildung" gibt und stellt an diese eben auch noch gewisse Anforderungen, nämlich daß sie differenzierbar oder sogar glatt sein soll und daß die Umkehrabbildung (die soll es bitteschön auch noch geben) auch noch differenzierbar oder sogar glatt ist.
Äquivalent dazu ist das, was Du geschrieben hast, nämlich, daß man die Menge lokal als Graph einer Funktion von p Variablen schreiben kann.
(natürlich wieder mit entsprechenden Forderungen)
Ich hoffe, daß ich ein bißchen was zum Verständnis beitragen konnte, das Konzept zu verstehen ist oft wichtiger, als der Rest, der meistens bloß technischer Natur ist.
Gruß,
Christian
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![[]](http://www2.genealogy.net/vereine/ArGeWe/sonstiges1/Hachenburger_Bierdeckel.jpg){kind=small}
"Hachenburger Bierdeckel"