p-Sylow-Untergruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Mi 16.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Sei p eine Primzahl und V ein n-dim. Vektorraum mit Basis { [mm] v_{1},...,v_{n} [/mm] } über dem endlichen Körper [mm] F_{q} [/mm] mit q = [mm] p^{s} [/mm] Elementen.
Zeige, dass die Menge der Automorphismen
{T [mm] \in [/mm] GL(V) | [mm] T(v_{1}) [/mm] = [mm] v_{1}, T(v_{i}) [/mm] - [mm] v_{i} \in \summe_{j=1}^{i-1}F_{q}v_{j} \subset [/mm] V für i=2,...,n}
eine p-Sylow-Untergruppe der Automorphismengruppe GL(V) von V ist |
Hallo,
ich hoffe, es kann mir jemand bei der Aufgabe weiter helfen, denn ich weiß überhaupt nicht, wie ich das zeigen soll.
Bis jetzt weiß ich nur, dass dim GL(V) = [mm] q^{n} [/mm] = [mm] p^{sn} [/mm] ist. Stimmt das?
Nach Definition der p-Sylow-Untergruppen muss ich doch zeigen, dass die Ordnung der Menge {T [mm] \in [/mm] GL(V) | [mm] T(v_{1}) [/mm] = [mm] v_{1}, T(v_{i}) [/mm] - [mm] v_{i} \in \summe_{j=1}^{i-1}F_{q}v_{j} \subset [/mm] V für i=2,...,n} eine p-Potenz mit höchstem Expontenten (also die größte p-Untergruppe von GL(V)) ist und |GL(V)| teilen muss oder?
Aber ich hab leider überhaupt keine Ahnung, wie ich da vorgehen kann.
Was kann ich denn mit der Menge genau machen, wenn sie so gegeben ist?
Ich hoffe daher, dass mir jemand Tipps geben könnte.
Vielen Dank für die Hilfe.
Vielen Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Do 17.05.2007 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Moe!
> Sei p eine Primzahl und V ein n-dim. Vektorraum mit Basis {
> [mm]v_{1},...,v_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} über dem endlichen Körper [mm]F_{q}[/mm] mit q =
> [mm]p^{s}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Elementen.
> Zeige, dass die Menge der Automorphismen
> {T [mm]\in[/mm] GL(V) | [mm]T(v_{1})[/mm] = [mm]v_{1}, T(v_{i})[/mm] - [mm]v_{i} \in \summe_{j=1}^{i-1}F_{q}v_{j} \subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> V für i=2,...,n}
> eine p-Sylow-Untergruppe der Automorphismengruppe GL(V)
> von V ist
>
> Hallo,
> ich hoffe, es kann mir jemand bei der Aufgabe weiter
> helfen, denn ich weiß überhaupt nicht, wie ich das zeigen
> soll.
> Bis jetzt weiß ich nur, dass dim GL(V) = [mm]q^{n}[/mm] = [mm]p^{sn}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ist. Stimmt das?
Was soll $dim GL(V)$ sein? Du meinst wohl: $|V| = q^n$.
> Nach Definition der p-Sylow-Untergruppen muss ich doch
> zeigen, dass die Ordnung der Menge {T [mm]\in[/mm] GL(V) | [mm]T(v_{1})[/mm]
> = [mm]v_{1}, T(v_{i})[/mm] - [mm]v_{i} \in \summe_{j=1}^{i-1}F_{q}v_{j} \subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> V für i=2,...,n} eine p-Potenz mit höchstem Expontenten
> (also die größte p-Untergruppe von GL(V)) ist und |GL(V)|
> teilen muss oder?
Genau.
> Aber ich hab leider überhaupt keine Ahnung, wie ich da
> vorgehen kann.
Weisst du, wie $|GL(V)|$ aussieht? Also wieviele Elemente eine $p$-Sylow-Untergruppe von $GL(V)$ haben muss? Wenn nicht, solltest du zuerst das bestimmen.
Und dann solltest du zeigen, dass die obige Menge ueberhaupt eine Untergruppe ist 
Danach musst du die Anzahl der Automorphismen in der Menge berechnen.
Du kannst das ganze uebrigens etwas vereinfachen, indem du es auf Matrizen zurueckfuehrst. Wie sieht die Darstellungsmatrix eines solchen Automorphismuses bzgl. der Matrix $(v_1, \dots, v_n)$ aus? (Tipp: sie haben eine bestimmte Form, und jede Matrix dieser Form ist bereits die Matrix eines Automorphismus. Damit kannst du die Anzahl Elemente der Menge sehr schnell zaehlen.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Do 17.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo felixf,
danke für deine Hilfe! 
> Was soll [mm]dim GL(V)[/mm] sein? Du meinst wohl: [mm]|V| = [mm] q^n[/mm
[/mm]
> Weisst du, wie [mm]|GL(V)|[/mm] aussieht? Also wieviele Elemente
> eine [mm]p[/mm]-Sylow-Untergruppe von [mm]GL(V)[/mm] haben muss? Wenn nicht,
> solltest du zuerst das bestimmen.
GL(V) ist doch die Automorphismengruppe V [mm] \to [/mm] V oder? Ich weiß, dass |V| = [mm] q^{n} [/mm] ist, aber ich komm nicht drauf, was |GL(V)| ist. Ist es auch [mm] q^{n}?
[/mm]
Wie kann ich denn bestimmen, wieviele Elemente eine p-Sylow-Untergruppe ist?
Mir ist das noch nicht so klar. Ich hoffe, du erklärst es mir.
>
> Und dann solltest du zeigen, dass die obige Menge
> ueberhaupt eine Untergruppe ist
Kann ich da einfach die Definition von Untergruppe anwenden? Also H ist Untergruppe, wenn [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] H auch [mm] ab^{-1} \in [/mm] H ist, und [mm] e\in [/mm] H.
>
> Danach musst du die Anzahl der Automorphismen in der Menge
> berechnen.
>
> Du kannst das ganze uebrigens etwas vereinfachen, indem du
> es auf Matrizen zurueckfuehrst. Wie sieht die
> Darstellungsmatrix eines solchen Automorphismuses bzgl. der
> Matrix [mm](v_1, \dots, v_n)[/mm] aus? (Tipp: sie haben eine
> bestimmte Form, und jede Matrix dieser Form ist bereits die
> Matrix eines Automorphismus. Damit kannst du die Anzahl
> Elemente der Menge sehr schnell zaehlen.)
Sind das die invertierbaren Matrizen?
D.h. ich muss die Anzahl der invertierbaren MAtrizen zählen, oder? Aber warum muss ich die Anzahl der Automorphismen in der gegebenen Menge berechnen?
Ich blick da noch nicht so ganz durch. Ich hoffe, du erklärst es mir.
Vielen Dank für deine Hilfe.
Viele Grüße,
Moe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Do 17.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe!
> danke für deine Hilfe!
>
> > Was soll [mm]dim GL(V)[/mm] sein? Du meinst wohl: [mm]|V| = [mm]q^n[/mm[/mm]
> > Weisst du, wie [mm]|GL(V)|[/mm] aussieht? Also wieviele Elemente
> > eine [mm]p[/mm]-Sylow-Untergruppe von [mm]GL(V)[/mm] haben muss? Wenn nicht,
> > solltest du zuerst das bestimmen.
>
> GL(V) ist doch die Automorphismengruppe V [mm]\to[/mm] V oder?
Genau.
> Ich weiß, dass |V| = [mm]q^{n}[/mm] ist, aber ich komm nicht drauf, was |GL(V)| ist. Ist es auch [mm]q^{n}?[/mm]
Nein.
Geh mal so vor: Jeder Automorphismus $f : V [mm] \to [/mm] V$ ist durch die Elemente [mm] $f(v_1), \dots, f(v_n) \in [/mm] V$ eindeutig bestimmt. Und zwar muss [mm] $(f(v_1), \dots, f(v_n))$ [/mm] eine Basis von $V$ sein.
Also musst du die Anzahl der Basen von $V$ zaehlen.
Dazu: Den ersten Basisvektor kannst du beliebig waehlen, er darf nur nicht $0$ sein. Du hast also [mm] $q^n [/mm] - 1$ Moeglichkeiten.
Der zweite Basisvektor darf ueberall liegen, nur nicht im Spann des ersten. Der Spann des ersten ist ein 1-dimensionaler Vektorraum, hat also [mm] $q^1$ [/mm] Elemente. Damit hast du fuer den zweiten Basisvektor [mm] $q^n [/mm] - q$ Moeglichkeiten.
Wieviele Moeglichkeiten hast du jetzt fuer den dritten? Und den vierten?
Schliesslich musst du alle Anzahlen der Moeglichkeiten zusammenmultiplizieren.
> Wie kann ich denn bestimmen, wieviele Elemente eine p-Sylow-Untergruppe ist?
> Mir ist das noch nicht so klar. Ich hoffe, du erklärst es mir.
Wenn du ne Formel fuer $|GL(V)|$ hast, dann kannst du schauen, wie oft $p$ diesen Ausdruck teilt. Und die hoeschste Potenz von $p$, die das tut, ist halt die Kardinalitaet einer jeden $p$-Sylow-Untergruppe von $GL(V)$.
> > Und dann solltest du zeigen, dass die obige Menge
> > ueberhaupt eine Untergruppe ist
> Kann ich da einfach die Definition von Untergruppe anwenden? Also H ist Untergruppe, wenn [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] H auch [mm]ab^{-1} \in[/mm] H ist, und [mm]e\in[/mm] H.
Ja.
> > Danach musst du die Anzahl der Automorphismen in der Menge
> > berechnen.
> >
> > Du kannst das ganze uebrigens etwas vereinfachen, indem du
> > es auf Matrizen zurueckfuehrst. Wie sieht die
> > Darstellungsmatrix eines solchen Automorphismuses bzgl. der
> > Matrix [mm](v_1, \dots, v_n)[/mm] aus? (Tipp: sie haben eine
> > bestimmte Form, und jede Matrix dieser Form ist bereits die
> > Matrix eines Automorphismus. Damit kannst du die Anzahl
> > Elemente der Menge sehr schnell zaehlen.)
> Sind das die invertierbaren Matrizen?
Zu jedem Automorphismus gehoert eine invertierbare Matrix. Aber fuer diese speziellen Automorphismen kann man noch viel mehr ueber die Matrix aussagen. Du kannst genau sagen, welche Eintraege auf jeden Fall 0 sein muessen, und dann gibt es noch genau $n$ Eintraege, die immer 1 sein muessen. DIe restlichen sind frei waehlbar. Finde mal heraus welche das alles sind.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Do 17.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo felixf,
ich hab für |GL(V)| = [mm] \produkt_{i=0}^{n-1} q^{n} [/mm] - [mm] q^{i}
[/mm]
[mm] q^{n} [/mm] - [mm] q^{i} [/mm] = [mm] q^{i} (q^{n-i} [/mm] -1), den hinteren Faktor hab ich jetzt als m definiert.
Dann ist nach einer kurzen Rechnung: |GL(V)| = m * [mm] q^{\bruch{(n-1)n}{2}}
[/mm]
Dann ist die Ordnung einer p-Sylow-Untergruppe nach Definition [mm] q^{\bruch{(n-1)n}{2}}.
[/mm]
Stimmt das so?
Dann habe ich versucht zu zeigen, dass die angegebene Menge, ich nenne sie mal H, eine Untergruppe ist.
> > Und dann solltest du zeigen, dass die obige Menge
> > ueberhaupt eine Untergruppe ist
> Kann ich da einfach die Definition von Untergruppe anwenden? Also H ist Untergruppe, wenn [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] H auch [mm]ab^{-1} \in[/mm] H ist, und [mm]e\in[/mm] H.
Ja.
Ich hab das mal versucht, aber ich komm irgendwie nicht weit.
Sei S, T [mm] \in [/mm] H. Z.Z: [mm] ST^{-1} \in [/mm] H
Dann gilt doch [mm] T(v_{1}) [/mm] = [mm] v_{1} [/mm] und [mm] S(v_{1}) [/mm] = [mm] v_{1}, [/mm] also auch [mm] T^{-1}(v_{1}) [/mm] = [mm] v_{1} [/mm] und [mm] S^{-1}(v_{1}) [/mm] = [mm] v_{1}.
[/mm]
Dann ist [mm] ST^{-1}(v_{1}) [/mm] = [mm] S(v_{1}) [/mm] = [mm] v_{1}
[/mm]
Jetzt muss ich das für i=2,..., n zeigen, aber ich krieg das nicht hin. Ich weiß gar nicht, wie ich den Ausdruck [mm] T(v_{i}) [/mm] - [mm] v_{i} \in \summe_{j=1}^{i-1} F_{q} v_{j} [/mm] umformen soll, damit ich zeigen kann, dass [mm] ST^{-1} \in [/mm] H.
Und dann muss ich zeigen dass die Einheitsmatrix E [mm] \in [/mm] H ist.
[mm] E(v_{1}) [/mm] = [mm] v_{1}, E(v_{i}) [/mm] - [mm] v_{i} \in \summe_{j=1}^{i-1} F_{q} v_{j}, [/mm] also 0 [mm] \in T(v_{i}) [/mm] - [mm] v_{i} \in \summe_{j=1}^{i-1} F_{q} v_{j}.
[/mm]
Stimmt das so?
> > Danach musst du die Anzahl der Automorphismen in der Menge
> > berechnen.
> >
> > Du kannst das ganze uebrigens etwas vereinfachen, indem du
> > es auf Matrizen zurueckfuehrst. Wie sieht die
> > Darstellungsmatrix eines solchen Automorphismuses bzgl. der
> > Matrix [mm](v_1, \dots, v_n)[/mm] aus? (Tipp: sie haben eine
> > bestimmte Form, und jede Matrix dieser Form ist bereits die
> > Matrix eines Automorphismus. Damit kannst du die Anzahl
> > Elemente der Menge sehr schnell zaehlen.)
> Sind das die invertierbaren Matrizen?
>Zu jedem Automorphismus gehoert eine invertierbare Matrix. Aber fuer >diese speziellen Automorphismen kann man noch viel mehr ueber die >Matrix aussagen. Du kannst genau sagen, welche Eintraege auf jeden >Fall 0 sein muessen, und dann gibt es noch genau [mm]n[/mm] >Eintraege, die immer 1 sein muessen. DIe restlichen sind frei waehlbar. >Finde mal heraus welche das alles sind.
Ich vermute mal, dass es die Diagonalmatrizen sind?? Warum sind genau n Einträge gleich 1 und die anderen nicht?
Ich versteh nicht so ganz, warum ich das für die Aufgabe zeigen muss, also der Zusammenhang ist mir nicht klar.
Müssen beim Zählen der Automorphismen in H genau [mm] q^{\bruch{(n-1)n}{2}} [/mm] Automorphismen rauskommen? Dann wäre H eine p-Sylow-Untergruppe oder?
Vielen Dank für deine Hilfe.
Viele Grüße,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 So 20.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo felixf,
stimmt der Anfang vom Beweis? Ich versteh das nicht mit den Matrizen so. Sind es die Diagonalmatrizen? Ich hab versucht die Matrizen zu finden, komm aber nicht drauf, welche genaue Struktur sie haben.
Sind die ersten n Einträge gleich 1 weil die Basis n-dim. ist?
Ich hoffe, du erklärst es mir.
Vielen Dank für deine Hilfe!!!
Viele Grüße,
Moe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 So 20.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe
> ich hab für |GL(V)| = [mm]\produkt_{i=0}^{n-1} q^{n}[/mm] - [mm]q^{i}[/mm]
Wenn du hinten noch Klammern hinschreibst stimmt das so.
> [mm]q^{n}[/mm] - [mm]q^{i}[/mm] = [mm]q^{i} (q^{n-i}[/mm] -1), den hinteren Faktor hab
> ich jetzt als m definiert.
Das $m$ ist verschieden fuer jedes $i$.
> Dann ist nach einer kurzen Rechnung: |GL(V)| = m *
> [mm]q^{\bruch{(n-1)n}{2}}[/mm]
Mit einem anderen $m$ als gerade. Aber egal, hauptsache $p$ teilt nicht $m$, was hier gilt. Damit folgt dann:
> Dann ist die Ordnung einer p-Sylow-Untergruppe nach
> Definition [mm]q^{\bruch{(n-1)n}{2}}.[/mm]
> Stimmt das so?
Ja.
> Dann habe ich versucht zu zeigen, dass die angegebene
> Menge, ich nenne sie mal H, eine Untergruppe ist.
>
> > > Und dann solltest du zeigen, dass die obige Menge
> > > ueberhaupt eine Untergruppe ist
> > Kann ich da einfach die Definition von Untergruppe
> anwenden? Also H ist Untergruppe, wenn [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] H
> auch [mm]ab^{-1} \in[/mm] H ist, und [mm]e\in[/mm] H.
Zeige lieber, dass aus $a, b [mm] \in [/mm] H$ folgt $a b [mm] \in [/mm] H$ und [mm] $a^{-1} \in [/mm] H$. Das ist denke ich einfacher.
Und wenn du nicht siehst wie das funktionieren soll: schau dir die Darstellungsmatrizen bzgl. der Basis [mm] $(v_1, \dots, v_n)$ [/mm] an. Wie das mit den Darstellungsmatrizen ablaeuft solltest du schonmal gesehen haben.
> Ich hab das mal versucht, aber ich komm irgendwie nicht
> weit.
> Sei S, T [mm]\in[/mm] H. Z.Z: [mm]ST^{-1} \in[/mm] H
> Dann gilt doch [mm]T(v_{1})[/mm] = [mm]v_{1}[/mm] und [mm]S(v_{1})[/mm] = [mm]v_{1},[/mm] also
> auch [mm]T^{-1}(v_{1})[/mm] = [mm]v_{1}[/mm] und [mm]S^{-1}(v_{1})[/mm] = [mm]v_{1}.[/mm]
> Dann ist [mm]ST^{-1}(v_{1})[/mm] = [mm]S(v_{1})[/mm] = [mm]v_{1}[/mm]
> Jetzt muss ich das für i=2,..., n zeigen, aber ich krieg
> das nicht hin. Ich weiß gar nicht, wie ich den Ausdruck
> [mm]T(v_{i})[/mm] - [mm]v_{i} \in \summe_{j=1}^{i-1} F_{q} v_{j}[/mm]
> umformen soll, damit ich zeigen kann, dass [mm]ST^{-1} \in[/mm] H.
[mm] $T(v_i) [/mm] - [mm] v_i \in \sum_{j=1}^{i-1} F_q v_j$ [/mm] heisst, dass es [mm] $a_{ij} \in \IF_q$ [/mm] gibt mit [mm] $T(v_i) [/mm] = [mm] v_i [/mm] + [mm] \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} v_j$.
[/mm]
Mit [mm] $a_{ii} [/mm] := 1$ und [mm] $a_{ij} [/mm] := 0$ fuer $j > i$ hast du also [mm] $T(v_i) [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n a_{ij} v_j$.
[/mm]
(Die [mm] $a_{ij}$s [/mm] haben uebrigens etwas mit der Darstellungsmatrix von $T$ bzgl. [mm] $(v_1, \dots, v_n)$ [/mm] zu tun.)
> Und dann muss ich zeigen dass die Einheitsmatrix E [mm]\in[/mm] H
> ist.
> [mm]E(v_{1})[/mm] = [mm]v_{1}, E(v_{i})[/mm] - [mm]v_{i} \in \summe_{j=1}^{i-1} F_{q} v_{j},[/mm]
> also 0 [mm]\in T(v_{i})[/mm] - [mm]v_{i} \in \summe_{j=1}^{i-1} F_{q} v_{j}.[/mm]
Was ist [mm] $T(v_i)$?
[/mm]
> Stimmt das so?
>
> > > Danach musst du die Anzahl der Automorphismen in der Menge
> > > berechnen.
> > >
> > > Du kannst das ganze uebrigens etwas vereinfachen, indem du
> > > es auf Matrizen zurueckfuehrst. Wie sieht die
> > > Darstellungsmatrix eines solchen Automorphismuses bzgl. der
> > > Matrix [mm](v_1, \dots, v_n)[/mm] aus? (Tipp: sie haben eine
> > > bestimmte Form, und jede Matrix dieser Form ist bereits die
> > > Matrix eines Automorphismus. Damit kannst du die Anzahl
> > > Elemente der Menge sehr schnell zaehlen.)
>
> > Sind das die invertierbaren Matrizen?
>
> >Zu jedem Automorphismus gehoert eine invertierbare Matrix.
> Aber fuer >diese speziellen Automorphismen kann man noch
> viel mehr ueber die >Matrix aussagen. Du kannst genau
> sagen, welche Eintraege auf jeden >Fall 0 sein muessen, und
> dann gibt es noch genau [mm]n[/mm] >Eintraege, die immer 1 sein
> muessen. DIe restlichen sind frei waehlbar. >Finde mal
> heraus welche das alles sind.
>
> Ich vermute mal, dass es die Diagonalmatrizen sind??
Nein. Es sind untere Dreiecksmatrizen.
> Warum
> sind genau n Einträge gleich 1 und die anderen nicht?
Schreib doch mal die Gleichungen so um wie ich das oben mit der einen gemacht hab (mit den Koeffizienten [mm] $a_{ij}$). [/mm] Wie ist die Darstellungsmatrix eines Endomorphismus definiert? Und wie bekommst du fuer ein solches $T [mm] \in [/mm] H$ also die Form der Darstellungsmatrix?
> Müssen beim Zählen der Automorphismen in H genau
> [mm]q^{\bruch{(n-1)n}{2}}[/mm] Automorphismen rauskommen? Dann wäre
> H eine p-Sylow-Untergruppe oder?
Genau.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 So 20.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo felixf,
ich hab jetzt versucht, die Aufgabe, so wie du es gesagt hast, zu lösen.
Die Ordnung der p-Sylow-Untergruppe ist [mm] q^{\bruch{n(n-1)}{2}}, [/mm] wie ich schon gezeigt habe.
> Zeige lieber, dass aus [mm]a, b \in H[/mm] folgt [mm]a b \in H[/mm] und
> [mm]a^{-1} \in H[/mm]. Das ist denke ich einfacher.
>
> Und wenn du nicht siehst wie das funktionieren soll: schau
> dir die Darstellungsmatrizen bzgl. der Basis [mm](v_1, \dots, v_n)[/mm]
> an. Wie das mit den Darstellungsmatrizen ablaeuft solltest
> du schonmal gesehen haben.
Die Darstelungsmatrix eines Endomorphismus sind quadratische Matrizen, hier in dem Fall n [mm] \times [/mm] n Matrizen.
Dann habe ich die Gleichungen hingeschrieben:
[mm] T(v_{1}) [/mm] = [mm] v_{1}
[/mm]
[mm] T(v_{2}) [/mm] = [mm] a_{21} v_{1} [/mm] + [mm] v_{2}
[/mm]
[mm] T(v_{3}) [/mm] = [mm] a_{31} v_{1} [/mm] + [mm] a_{32} v_{2}+ v_{3} [/mm] usw.
also allgemein wie du das hingeschrieben hast [mm] T(v_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} a_{ij} v_{j} [/mm] für [mm] a_{ii} [/mm] = 1 [mm] \forall [/mm] i = 1,...,n , [mm] a_{ij} [/mm] = 0 für j > i.
Ich hab mal die Darstellungsmatrix explizit hingeschrieben:
T [mm] \vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ ... \\ v_{n}} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & ... & 0 \\ a_{21} & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ a_{31} & a_{32} & 1 & 0 & ... & 0 \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & 1 & ... & 0 \\ ........ \\ a_{n1} & ....& ....& ... & ... & 1 } \vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ ... \\ v_{n}}
[/mm]
Die [mm] a_{ij} [/mm] sind frei wählbar.
Ich habe gezeigt, dass H eine Untergruppe ist, indem ich zwei solcher Matrizen miteinander multipliziert habe und da kam als Ergebnis wieder eine untere Dreiecksmatrix heraus.
Und dann habe ich die Matrix invertiert, und das Inverse ist auch eine untere Dreiecksmatrix.
Stimmt das so?
Ich hab die Berechnungen nicht hingeschrieben, weil das mir so viel Eintipperei ist.
Muss ich aber noch zeigen, dass die Einheitsmatrix [mm] \in [/mm] H ist? Dann wären alle [mm] a_{ij} [/mm] = 0, außer die Diagonale oder?
> > > > Danach musst du die Anzahl der Automorphismen in der Menge
> > > > berechnen.
> > > >
> > > > Du kannst das ganze uebrigens etwas vereinfachen, indem du
> > > > es auf Matrizen zurueckfuehrst. Wie sieht die
> > > > Darstellungsmatrix eines solchen Automorphismuses bzgl. der
> > > > Matrix [mm](v_1, \dots, v_n)[/mm] aus? (Tipp: sie haben eine
> > > > bestimmte Form, und jede Matrix dieser Form ist bereits die
> > > > Matrix eines Automorphismus. Damit kannst du die Anzahl
> > > > Elemente der Menge sehr schnell zaehlen.)
> > Müssen beim Zählen der Automorphismen in H genau
> > [mm]q^{\bruch{(n-1)n}{2}}[/mm] Automorphismen rauskommen? Dann wäre
> > H eine p-Sylow-Untergruppe oder?
>
> Genau.
Jetzt habe ich geschaut, wie viele versch. untere Dreiecksmatrizen es gibt. Die Matrix hat insgesamt n [mm] \times [/mm] n Elemente. Davon ziehe ich die n Diagonalelemente ab, und teile das Ergebnis durch 2, weil das obere Dreieck nur Nullen hat. Also erhalte ich [mm] \bruch{n(n-1)}{2}.
[/mm]
Also habe ich [mm] q^{\bruch{n(n-1)}{2}} [/mm] Automorphismen.
Stimmt das so?
Vielen Dank für deine Hilfe!!!
Viele Grüße,
Moe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 So 20.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe!
> ich hab jetzt versucht, die Aufgabe, so wie du es gesagt
> hast, zu lösen.
> Die Ordnung der p-Sylow-Untergruppe ist
> [mm]q^{\bruch{n(n-1)}{2}},[/mm] wie ich schon gezeigt habe.
>
> > Zeige lieber, dass aus [mm]a, b \in H[/mm] folgt [mm]a b \in H[/mm] und
> > [mm]a^{-1} \in H[/mm]. Das ist denke ich einfacher.
> >
> > Und wenn du nicht siehst wie das funktionieren soll: schau
> > dir die Darstellungsmatrizen bzgl. der Basis [mm](v_1, \dots, v_n)[/mm]
> > an. Wie das mit den Darstellungsmatrizen ablaeuft solltest
> > du schonmal gesehen haben.
>
> Die Darstelungsmatrix eines Endomorphismus sind
> quadratische Matrizen, hier in dem Fall n [mm]\times[/mm] n
> Matrizen.
> Dann habe ich die Gleichungen hingeschrieben:
> [mm]T(v_{1})[/mm] = [mm]v_{1}[/mm]
> [mm]T(v_{2})[/mm] = [mm]a_{21} v_{1}[/mm] + [mm]v_{2}[/mm]
> [mm]T(v_{3})[/mm] = [mm]a_{31} v_{1}[/mm] + [mm]a_{32} v_{2}+ v_{3}[/mm] usw.
>
> also allgemein wie du das hingeschrieben hast [mm]T(v_{i})[/mm] =
> [mm]\summe_{j=1}^{n} a_{ij} v_{j}[/mm] für [mm]a_{ii}[/mm] = 1 [mm]\forall[/mm] i =
> 1,...,n , [mm]a_{ij}[/mm] = 0 für j > i.
>
> Ich hab mal die Darstellungsmatrix explizit
> hingeschrieben:
>
> T [mm]\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ ... \\ v_{n}}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & ... & 0 \\ a_{21} & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ a_{31} & a_{32} & 1 & 0 & ... & 0 \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & 1 & ... & 0 \\ ........ \\ a_{n1} & ....& ....& ... & ... & 1 } \vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ ... \\ v_{n}}[/mm]
>
> Die [mm]a_{ij}[/mm] sind frei wählbar.
>
> Ich habe gezeigt, dass H eine Untergruppe ist, indem ich
> zwei solcher Matrizen miteinander multipliziert habe und da
> kam als Ergebnis wieder eine untere Dreiecksmatrix heraus.
> Und dann habe ich die Matrix invertiert, und das Inverse
> ist auch eine untere Dreiecksmatrix.
> Stimmt das so?
> Ich hab die Berechnungen nicht hingeschrieben, weil das
> mir so viel Eintipperei ist.
> Muss ich aber noch zeigen, dass die Einheitsmatrix [mm]\in[/mm] H
> ist? Dann wären alle [mm]a_{ij}[/mm] = 0, außer die Diagonale oder?
Genau, stimmt so alles.
>
> > > > > Danach musst du die Anzahl der Automorphismen in der Menge
> > > > > berechnen.
> > > > >
> > > > > Du kannst das ganze uebrigens etwas vereinfachen, indem du
> > > > > es auf Matrizen zurueckfuehrst. Wie sieht die
> > > > > Darstellungsmatrix eines solchen Automorphismuses bzgl. der
> > > > > Matrix [mm](v_1, \dots, v_n)[/mm] aus? (Tipp: sie haben eine
> > > > > bestimmte Form, und jede Matrix dieser Form ist bereits die
> > > > > Matrix eines Automorphismus. Damit kannst du die Anzahl
> > > > > Elemente der Menge sehr schnell zaehlen.)
>
> > > Müssen beim Zählen der Automorphismen in H genau
> > > [mm]q^{\bruch{(n-1)n}{2}}[/mm] Automorphismen rauskommen? Dann wäre
> > > H eine p-Sylow-Untergruppe oder?
> >
> > Genau.
>
> Jetzt habe ich geschaut, wie viele versch. untere
> Dreiecksmatrizen es gibt. Die Matrix hat insgesamt n
> [mm]\times[/mm] n Elemente. Davon ziehe ich die n Diagonalelemente
> ab, und teile das Ergebnis durch 2, weil das obere Dreieck
> nur Nullen hat. Also erhalte ich [mm]\bruch{n(n-1)}{2}.[/mm]
>
> Also habe ich [mm]q^{\bruch{n(n-1)}{2}}[/mm] Automorphismen.
>
> Stimmt das so?
Ja.
LG Felix
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