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p-Sylow-Gruppe: Aufgabe
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 21:23 Fr 05.11.2004
Autor: Sonne16

Hallo Leute!

Brauche mal eure Hilfe bei folgender Aufgabe:

Es sei G eine endliche Gruppe und H enthalten in G ein Normalteiler.Außerdem sei H eine p-Gruppe für eine Primzahl p. Zeige, dass H in jeder p-Sylow-Gruppe von G enthalten ist.

Also man muss sicher irgendwie mit den Sylow-Sätzen arbeiten. Mit dem ersten könnte man ja erstmal die Existenz einer Sylow-Gruppe belegen.Aber weiter habe ich keine Ahnugn, welchen satz ich dazu benutzen muss und wie dann der Beweis funktioniert.
Vielen Dank

Grüße
Mone




Habe diese Aufgabe in einem anderen Forum gestellt und dort beantwotet bekommen!Daher ist die Aufgabe nicht mehr zu lösen! trotzdem danke an alle, die sich Gedanken gemacht haben!
Gruß
        
Bezug
p-Sylow-Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:22 Mi 10.11.2004
Autor: Stefan

Liebe Mone!

> Habe diese Aufgabe in einem anderen Forum gestellt und dort
> beantwotet bekommen!Daher ist die Aufgabe nicht mehr zu
> lösen! trotzdem danke an alle, die sich Gedanken gemacht
> haben!

Vielen Dank für den Hinweis, das ist nett von dir. :-)

Könntest du uns vielleicht bitte noch den Link mitteilen, dann können alle Interessierten die Lösung dort nachlesen. Danke! :-)

Okay, habe es jetzt gefunden, im Matheplaneten.

Also hier die Lösung:

Es sei $N$ ein Normalteiler, der zugleich eine $p$-Gruppe ist. Dann ist $N$ in einer $p$-Sylowgruppe [mm] $S_1$ [/mm] enthalten. Alle $p$-Sylowgruppen sind aber konjugiert zueinander, d.h. für eine beliebige $p$-Sylowgruppe [mm] $S_2$ [/mm] gibt es ein $x [mm] \in [/mm] G$ mit

[mm] $xS_1x^{-1}=S_2$. [/mm]

Wegen $N [mm] \subset S_1$ [/mm] und [mm] $xNX^{-1}=N$ [/mm] folgt

$N = [mm] xNX^{-1} \subset xS_1x^{-1} [/mm] = [mm] S_2$, [/mm]

was zu zeigen war.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
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