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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Do 04.09.2008 | | Autor: | koko |
hallo leute,
ich hab da ne theoretische frage an euch, wäre echt super wenn mir da jemand ne antwort dazu geben könnte.
also ich hab da [mm] U=\left\{ \vec x \in \IR^3 | \vec x \perp (1,1,2,)^T \right\} [/mm] = [mm] \left\{ \vec x \in \IR^3 | x_1+x_2+2x_3=0 \right\} [/mm]
hier wird der [mm] \IR^3 [/mm] betrachtet, nun ist hier eine orthonormalbasis des linearen unterraumes gesucht.
1. hab ich hier...oder muss ich hier 3 orthonormale basen haben, da ich mich im [mm] \IR^3 [/mm] befinde?
2. ist [mm] (1,1,2,)^T [/mm] bereits keine orthogonalbasis? (müsste man nur noch normieren um ne orthonormalbasis zu erhalten)
3. ich versteh die angabe mit dem unterraum und was da drin steht nicht ganz bzw. ich kann mir drunter nichts vorstellen...könnte mir das jemand ganz kurz erklären?
wie gesagt, die fragen sind eher aufs verständniss bezogen und nicht auf das rechnen.
ich bedanke mich mal schon im voraus,
mfg
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> hallo leute,
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> ich hab da ne theoretische frage an euch, wäre echt super
> wenn mir da jemand ne antwort dazu geben könnte.
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> also ich hab da [mm]U=\left\{ \vec x \in \IR^3 | \vec x \perp (1,1,2,)^T \right\}[/mm]
> = [mm]\left\{ \vec x \in \IR^3 | x_1+x_2+2x_3=0 \right\}[/mm]
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> hier wird der [mm]\IR^3[/mm] betrachtet, nun ist hier eine
> orthonormalbasis des linearen unterraumes gesucht.
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> 1. hab ich hier...oder muss ich hier 3 orthonormale basen
> haben, da ich mich im [mm]\IR^3[/mm] befinde?
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> 2. ist [mm](1,1,2,)^T[/mm] bereits keine orthogonalbasis? (müsste
> man nur noch normieren um ne orthonormalbasis zu erhalten)
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> 3. ich versteh die angabe mit dem unterraum und was da drin
> steht nicht ganz bzw. ich kann mir drunter nichts
> vorstellen...könnte mir das jemand ganz kurz erklären?
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> wie gesagt, die fragen sind eher aufs verständniss bezogen
> und nicht auf das rechnen.
>
> ich bedanke mich mal schon im voraus,
Hallo,
hier purzelt's etwas durcheinander...
Du mußt unterscheiden zwischen Basen und Vekoren.
Basen bestehen aus Vektoren, derart, daß die enthaltenen Vektoren linear unabhängig sind und man durch Linearkombination der in der Vektoren der basis, der Basisvektoren, jedes Element des Vektorraumes (zu dem die Basis gehört) erzeugen kann.
Eine Orthonomalbasis ist eine Basis, deren Vektoren zusätzlich paarweise orthogonal sind.
Um auf [mm] U=\left\{ \vec x \in \IR^3 | \vec x \perp (1,1,2,)^T \right\}[/mm] [/mm] = [mm]\left\{ \vec x \in \IR^3 | x_1+x_2+2x_3=0 \right\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
zu sprechen zu kommen.
U ist eine Teilmenge des \IR³, aber Du benötigst nicht drei Vektoren, um U zu erzeugen. (Deine Basis wird aus zwei Vektoren bestehen)
Was ist U? In U sind alle vektoren \vektor{x_1\\x_2\\x_3}, die das Gleichungssystem x_1+x_2+2x_3=0 lösen.
Du sollst nun linear unabhängige, orthogonale Vektoren der Länge 1 finden, mit denen Du jede Lösung erzeugen kannst.
Kannst Du eigentlich das Gleichungssystem lösen?
Du kannst auch (1,1,2,)^T durch zwei normierte Vektoren zu einer Orthogonalbasis ergänzen. Die beiden ergänzenden Vektoren sind dann eine Basis von U.
Gruß v. Angela
Ein Vektor, der in U liegt, ist \vektor{
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Do 04.09.2008 | | Autor: | koko |
jaja zuerst mal danke...aber das mit den vektoren, basen und linearen abhängigkeiten ist mir schon klar.
aber wie kommst du drauf, dass ich nur 2 vektoren für die basis brauche?
klar kann ich das gleichungsysetm lösen...da komm ich dann auf, [mm] \vec{x} [/mm] =s*(-1,1,0)+t*(-2,0,1) für ein beliebiges [mm] \vec{x} [/mm] aus U...und wie weiter?
und zweitesn, warum sollte ich (1,1,2) nicht als basisi verwenden können...ich hab da igrendiwe ein verständniss problem, denn es heist ja in der angabe...dass [mm] \vec{x} [/mm] auf (1,1,2) senkrecht ist oder?
danke,
mfg
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> jaja zuerst mal danke...aber das mit den vektoren, basen
> und linearen abhängigkeiten ist mir schon klar.
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> aber wie kommst du drauf, dass ich nur 2 vektoren für die
> basis brauche?
Hallo,
jahrelanges Training...
>
> klar kann ich das gleichungsysetm lösen...da komm ich dann
> auf, [mm]\vec{x}[/mm] =s*(-1,1,0)+t*(-2,0,1) für ein beliebiges
> [mm]\vec{x}[/mm] aus U...und wie weiter?
Ah, das ist doch schon prima.
Es ist ( (-1,1,0), (-2,0,1)) eine Basis von U (U ist ja der Lösungsraum der besagten Gleichung.)
Nun sind die beiden leider noch nicht orthogonal.
Entweder nimmst Du jetzt das Gram-Schmidt-Verfahren, oder Du bestimmst einen Vektor, der aus der Linearkombination der beiden besteht und zu (-1,1,0) orthogonal ist, löst also
[mm] \vektor{-1\\1\\0}*(a\vektor{-1\\1\\0}+b\vektor{-2\\0\\1})=0.
[/mm]
> und zweitesn, warum sollte ich (1,1,2) nicht als basisi
> verwenden können...i
Als Basis sowieso nicht. Wenn schon, dann als Basisvektor.
Der von Dir vorgeschlagene Vektor hat aber ein großes Manko: er ist doch gar kein Element von U. In U sind die Vektoren, die zu (1,1,2) senkrecht sind. (1,1,2) ist nicht orthogonal zu (1,1,2) .
Gruß v. Angela
ch hab da igrendiwe ein verständniss
> problem, denn es heist ja in der angabe...dass [mm]\vec{x}[/mm] auf
> (1,1,2) senkrecht ist oder?
>
> danke,
>
> mfg
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