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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Für einen Unterraum [mm] U\subset\IR^n [/mm] bestimme man das Orthogonal-Komplement [mm] U^\perp [/mm] von U in den Fällen:
(i) [mm] U={x\in\IR^3 | \exists\lambda\in\IR: x=\lambda*e} [/mm] mit [mm] e:=\pmat{1 \\1\\1}
[/mm]
(ii) [mm] U={x\in\IR^3 | =0} [/mm] mit [mm] f:=\pmat{1 \\1\\0} [/mm] |
Wie mache ich das?
Orthogonal bedeutet dass das Skalarprodukt gleich 0 sein muss ... also in dem Fall dass alle Elemente aus [mm] U^\perp [/mm] othoghonal zu allen Elementen aus U sein müssen. Also [mm] U={\pmat{\lambda \\ \lambda\\ \lambda} | \lambda\in\IR}. [/mm] Sei [mm] U^\perp={\pmat{x \\y\\z}| x,y,z\in\IR}
[/mm]
Dann muss gelten:
[mm] \pmat{\lambda \\ \lambda\\ \lambda}*\pmat{x \\y\\z}=0
[/mm]
Also:
[mm] \lambda*x+\lambda*y+\lambda*z=0
[/mm]
Das ist ja aber für endlos viele Beziehungen von x,y,z gegeben wie bestimme ich also ein definiertes Orthogonal-Komplement?
Bei (ii) würde ich einfach die Menge [mm] U^\perp [/mm] definieren als [mm] U^\perp:={x\in\IR^3 | \exists\lambda\in\IR: x=\lambda*f} [/mm] mit [mm] f:=\pmat{1 \\1\\0} [/mm] ...geht das so?
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß Zerwas
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> Für einen Unterraum [mm]U\subset\IR^n[/mm] bestimme man das
> Orthogonal-Komplement [mm]U^\perp[/mm] von U in den Fällen:
> (i) [mm]U={x\in\IR^3 | \exists\lambda\in\IR: x=\lambda*e}[/mm] mit
> [mm]e:=\pmat{1 \\1\\1}[/mm]
> (ii) [mm]U={x\in\IR^3 | =0}[/mm] mit
> [mm]f:=\pmat{1 \\1\\0}[/mm]
> Wie mache ich das?
> Orthogonal bedeutet dass das Skalarprodukt gleich 0 sein
> muss ... also in dem Fall dass alle Elemente aus [mm]U^\perp[/mm]
> othoghonal zu allen Elementen aus U sein müssen. Also
> [mm]U={\pmat{\lambda \\ \lambda\\ \lambda} | \lambda\in\IR}.[/mm]
> Sei [mm]U^\perp={\pmat{x \\y\\z}| x,y,z\in\IR}[/mm]
> Dann muss
> gelten:
> [mm]\pmat{\lambda \\ \lambda\\ \lambda}*\pmat{x \\y\\z}=0[/mm]
>
> Also:
> [mm]\lambda*x+\lambda*y+\lambda*z=0[/mm]
> Das ist ja aber für endlos viele Beziehungen von x,y,z
> gegeben wie bestimme ich also ein definiertes
> Orthogonal-Komplement?
Also wenn [mm]\lambda \neq 0[/mm] ist (und dies dürfen wir annehmen: der Fall [mm]\lambda = 0[/mm] interessiert hier nicht), dann kannst Du die Gleichung beidseitig durch [mm]\lambda[/mm] dividieren und erhältst die einfachere Beziehung:
[mm]x+y+z=0[/mm]
Und was ist die Lösungsmenge dieser Gleichung? - Anwort: Ein Teilraum von [mm]\IR^3[/mm], da es sich um die Lösungsmenge eines homogen-linearen Gleichungssystems in den Koordinaten von [mm]\IR^3[/mm] handelt. Und zwar kannst Du in dieser Gleichung ja für zwei der drei Variablen, sagen wir [mm]x,y[/mm], beliebige reelle Zahlen einsetzen und dann einfach [mm]z := -(x+y)[/mm] wählen um eine Lösung zu erhalten. Mit anderen Worten: die Lösungsmenge ist
[mm]U^\perp = \left\{\pmat{x\\y\\-(x+y)}\mid x,y\in \IR\right\}=\left\{x\pmat{1\\0\\-1}+y\pmat{0\\1\\-1}\mid x,y\in \IR\right\}[/mm]
Natürlich würde man in der Regel in einem solchen Falle nicht so krampfadrig vorgehen. Allgemein gilt ja (ich hoffe das hast Du in der Vorlesung schon gehört): ein System von [mm]r[/mm] linear-unabhängigen homogen-linearen Gleichungen in den Koordinaten des [mm]\IR^n[/mm] hat einen linearen Lösungsraum der Dimension [mm]n-r[/mm]. Hier war also [mm]r=1, n=3[/mm]. Daher konnten wir einen linearen Lösungsraum der Dimension [mm]3-1=2[/mm] erwarten. Es genügt daher, zwei linear-unabhängige Vektoren [mm]\perp[/mm] zum einen, den 1-dim Teilraum [mm]U[/mm] aufspannenden Vektor zu finden. Der von diesen beiden linear-unabhängigen Basisvektoren aufgespannte Teilraum ist dann [mm]U^\perp[/mm].
> Bei (ii) würde ich einfach die Menge [mm]U^\perp[/mm] definieren
Uh, nee: definieren kannst Du [mm]U^\perp[/mm] an dieser Stelle nicht, denn [mm]U[/mm] ist Dir vorgegeben und damit ist dessen orthogonales Komplement bereits festgelegt. Wenn man pedatisch nach der Definition des orthogonalen Komplements geht, dann ist also
[mm]U^\perp = \{\vec{y}\in \IR^3\mid \vec{y}\perp U\}[/mm]
> als
> [mm]U^\perp:={x\in\IR^3 | \exists\lambda\in\IR: x=\lambda*f}[/mm]
> mit [mm]f:=\pmat{1 \\1\\0}[/mm] ...geht das so?
Es ist wahr, dass [mm]U^\perp[/mm] in diesem Falle gerade der vom Vektor [mm]\vec{f}[/mm] aufgespannte Teilraum ist. Was Du hier siehst, ist eine grundlegende Eigenschaft des Übergangs zum orthogonalen Komplement an einem Spezialfall: [mm]U^\perp = ([\vec{f}]^\perp)^\perp =[\vec{f}][/mm], wobei ich mit [mm][\vec{f}][/mm] den von [mm]\vec{f}[/mm] aufgespannten Raum bezeichnet habe.
Allgemein gilt also: [mm](U^\perp)^\perp=U[/mm].
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