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| Aufgabe | Determine the orthogonal trajectories of
(a) [mm] $x^p+cy^p=1$ [/mm] ; p=constant |
Hallo,
ich finde meinen Fehler nicht. Wenn jemand den Nerv hätte einmal drüber zu schauen...
[mm] $x^p+cy^p=1$ [/mm] ; [mm] $c=\frac{1-x^p}{y^p}$
[/mm]
[mm] $px^{p-1}+cpy^{p-1}y'=0$ [/mm]
[mm] $px^{p-1}+p(1-x^p)y^{-1}y'=0$ [/mm]
[mm] $\frac{1}{y}y'=\frac{x^{p-1}}{x^p-1}$
[/mm]
[mm] $\int \frac{1}{y} \;dy=\frac{1}{p}\int \frac{px^{p-1}}{x^p-1}\;dx$
[/mm]
[mm] $ln|y|=\frac{1}{p}ln|x^p-1|+D$
[/mm]
[mm] $C'*y^p=x^p-1$
[/mm]
[mm] $C*y^p+x^p=1$
[/mm]
Das kann aber nicht stimmen, zu einen, weil die Kurven nicht selbst-orthogonal sind (Plotter); zum anderen, weil die Lösung anders lautet:
1. if [mm] p\not= [/mm] 2
[mm] $y^2=\frac{2x^{2-p}}{2-p}-x^2+C_1$
[/mm]
2. if p=2
[mm] $e^{x^2+y^2}=C_1x^2$
[/mm]
Besten Dank.
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Determine the orthogonal trajectories of
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> (a) [mm]x^p+cy^p=1[/mm] ; p=constant
> Hallo,
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> ich finde meinen Fehler nicht. Wenn jemand den Nerv hätte
> einmal drüber zu schauen...
>
> [mm]x^p+cy^p=1[/mm] ; [mm]c=\frac{1-x^p}{y^p}[/mm]
>
> [mm]px^{p-1}+cpy^{p-1}y'=0[/mm]
>
> [mm]px^{p-1}+p(1-x^p)y^{-1}y'=0[/mm]
Nun, das sind ja auch nicht die orthogonalen Trajektorien.
Ist eine Kurvenschar [mm]F\left(x,y,c\right)=0[/mm] gegeben,
so lautet die DGL der orthogonalen Trajektorien:
[mm]F_{y}-F_{x}*y'=0[/mm]
, wobei die Konstante c aus der Kurvenschar zu eliminieren ist,
das Du auch richtigerweise gemacht hast.
>
> [mm]\frac{1}{y}y'=\frac{x^{p-1}}{x^p-1}[/mm]
>
> [mm]\int \frac{1}{y} \;dy=\frac{1}{p}\int \frac{px^{p-1}}{x^p-1}\;dx[/mm]
>
> [mm]ln|y|=\frac{1}{p}ln|x^p-1|+D[/mm]
>
> [mm]C'*y^p=x^p-1[/mm]
>
> [mm]C*y^p+x^p=1[/mm]
>
> Das kann aber nicht stimmen, zu einen, weil die Kurven
> nicht selbst-orthogonal sind (Plotter); zum anderen, weil
> die Lösung anders lautet:
>
> 1. if [mm]p\not=[/mm] 2
>
> [mm]y^2=\frac{2x^{2-p}}{2-p}-x^2+C_1[/mm]
>
> 2. if p=2
>
> [mm]e^{x^2+y^2}=C_1x^2[/mm]
>
> Besten Dank.
>
> LG, Martinius
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
da fällt es mir wie Schuppen von den Augen...
[mm] $x^p+cy^p=1$ [/mm] ; [mm] c=\frac{1-x^p}{y^p}
[/mm]
[mm] $px^{p-1}+cpy^{p-1}y'=0$
[/mm]
[mm] $px^{p-1}+(1-x^p)py^{-1}y'=0$
[/mm]
[mm] $y'=-\frac{yx^{p-1}}{1-x^p}$
[/mm]
DGL der orthogonalen Trajektorie:
[mm] $y'=\frac{1-x^p}{yx^{p-1}}$
[/mm]
[mm] $yy'=(x^{-p}-1)*x$
[/mm]
[mm] $\int [/mm] y [mm] \;dy [/mm] = [mm] \int (x^{1-p}-1)\;dx$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{2}y^2=\frac{x^{2-p}}{2-p}-\frac{1}{2}x^2+D$
[/mm]
[mm] $y^2=\frac{2x^{2-p}}{2-p}-x^2+C$
[/mm]
Jetzt stimmt's aber?
Nochmals Dank.
Martinius
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Hallo Martinius,
> Hallo MathePower,
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> da fällt es mir wie Schuppen von den Augen...
>
> [mm]x^p+cy^p=1[/mm] ; [mm]c=\frac{1-x^p}{y^p}[/mm]
>
> [mm]px^{p-1}+cpy^{p-1}y'=0[/mm]
>
> [mm]px^{p-1}+(1-x^p)py^{-1}y'=0[/mm]
>
> [mm]y'=-\frac{yx^{p-1}}{1-x^p}[/mm]
>
> DGL der orthogonalen Trajektorie:
>
> [mm]y'=\frac{1-x^p}{yx^{p-1}}[/mm]
>
> [mm]yy'=(x^{-p}-1)*x[/mm]
>
> [mm]\int y \;dy = \int (x^{1-p}-1)\;dx[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{2}y^2=\frac{x^{2-p}}{2-p}-\frac{1}{2}x^2+D[/mm]
>
> [mm]y^2=\frac{2x^{2-p}}{2-p}-x^2+C[/mm]
>
> Jetzt stimmt's aber?
Ja, die Lösung für [mm]p \not=2[/mm] stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nochmals Dank.
>
> Martinius
Gruß
MathePower
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